Страница 15 номер 1.31, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Восстановите запись (многоточием отмечены пропущенные выражения):
а) \(\frac{m}{n}=-\frac{\ldots}{-n}=-\frac{-m}{\ldots}=-\frac{\ldots}{-n}\);
б) \(\frac{a}{a-b}=\frac{-a}{\ldots}=-\frac{-a}{\ldots}=-\frac{\ldots}{b-a}\);
в) \(\frac{x-z}{x-y}=\frac{\ldots}{y-x}=-\frac{x-z}{\ldots}=-\frac{\ldots}{x-y}\);
г) \(\frac{p-c}{p+c}=-\frac{\ldots}{p+c}=-\frac{p-c}{\ldots}=\frac{\ldots}{-p-c}\).
Пользуемся равенствами \(\frac{A}{B} = \frac{-A}{-B} = -\frac{A}{-B} = -\frac{-A}{B}\).
а) Вторая дробь: заменён знаменатель, перед дробью «минус» — числитель прежний, \(m\). Третья: заменён числитель — знаменатель прежний, \(n\). Последняя дробь устроена так же, как и первая восстановленная дробь, и её числитель тоже равен \(m\):
\[\frac{m}{n} = -\frac{m}{-n} = -\frac{-m}{n} = -\frac{m}{-n}.\]
б) Вторая дробь: числитель заменён, а «минуса» перед дробью нет — заменён и знаменатель, \(b - a\). Третья: перед дробью «минус» — знаменатель прежний, \(a - b\). Четвёртая: заменён знаменатель — числитель прежний, \(a\):
\[\frac{a}{a - b} = \frac{-a}{b - a} = -\frac{-a}{a - b} = -\frac{a}{b - a}.\]
в) Вторая дробь: знаменатель заменён, а «минуса» перед дробью нет — заменён и числитель, \(z - x\). Третья: числитель прежний, перед дробью «минус» — знаменатель заменён, \(y - x\). Четвёртая: знаменатель прежний — числитель заменён, \(z - x\):
\[\frac{x - z}{x - y} = \frac{z - x}{y - x} = -\frac{x - z}{y - x} = -\frac{z - x}{x - y}.\]
г) Вторая дробь: знаменатель прежний, перед дробью «минус» — числитель заменён, \(c - p\). Третья: числитель прежний — знаменатель заменён, \(-p - c\). Четвёртая: знаменатель заменён, а «минуса» перед дробью нет — заменён и числитель, \(c - p\):
\[\frac{p - c}{p + c} = -\frac{c - p}{p + c} = -\frac{p - c}{-p - c} = \frac{c - p}{-p - c}.\]
Ответ: а) \(\frac{m}{n} = -\frac{m}{-n} = -\frac{-m}{n} = -\frac{m}{-n}\); б) \(\frac{a}{a - b} = \frac{-a}{b - a} = -\frac{-a}{a - b} = -\frac{a}{b - a}\); в) \(\frac{x - z}{x - y} = \frac{z - x}{y - x} = -\frac{x - z}{y - x} = -\frac{z - x}{x - y}\); г) \(\frac{p - c}{p + c} = -\frac{c - p}{p + c} = -\frac{p - c}{-p - c} = \frac{c - p}{-p - c}\).
Восстановите запись (многоточием отмечены пропущенные выражения):
а) \(\frac{m}{n}=-\frac{\ldots}{-n}=-\frac{-m}{\ldots}=-\frac{\ldots}{-n}\);
б) \(\frac{a}{a-b}=\frac{-a}{\ldots}=-\frac{-a}{\ldots}=-\frac{\ldots}{b-a}\);
в) \(\frac{x-z}{x-y}=\frac{\ldots}{y-x}=-\frac{x-z}{\ldots}=-\frac{\ldots}{x-y}\);
г) \(\frac{p-c}{p+c}=-\frac{\ldots}{p+c}=-\frac{p-c}{\ldots}=\frac{\ldots}{-p-c}\).
Если и числитель, и знаменатель дроби заменить на противоположные выражения, получится дробь, равная данной; если же на противоположное выражение заменяют только числитель или только знаменатель, то перед дробью меняют знак: \(\frac{A}{B} = \frac{-A}{-B} = -\frac{A}{-B} = -\frac{-A}{B}\).
а) В дроби \(-\frac{\ldots}{-n}\) на противоположный заменён знаменатель и перед дробью поставлен «минус», поэтому числитель прежний — \(m\). В дроби \(-\frac{-m}{\ldots}\) на противоположный заменён числитель, поэтому знаменатель прежний — \(n\). Последняя дробь устроена так же, как и первая восстановленная дробь, и её числитель тоже равен \(m\):
\[\frac{m}{n} = -\frac{m}{-n} = -\frac{-m}{n} = -\frac{m}{-n}.\]
б) В дроби \(\frac{-a}{\ldots}\) числитель заменён на противоположный, а знака «минус» перед дробью нет — значит, и знаменатель заменён на противоположный: \(b - a\). В дроби \(-\frac{-a}{\ldots}\) перед дробью стоит «минус», поэтому знаменатель прежний — \(a - b\). В дроби \(-\frac{\ldots}{b - a}\) на противоположный заменён знаменатель, поэтому числитель прежний — \(a\):
\[\frac{a}{a - b} = \frac{-a}{b - a} = -\frac{-a}{a - b} = -\frac{a}{b - a}.\]
в) В дроби \(\frac{\ldots}{y - x}\) знаменатель заменён на противоположный, а знака «минус» перед дробью нет — значит, на противоположный заменён и числитель: \(z - x\). В дроби \(-\frac{x - z}{\ldots}\) числитель прежний, а перед дробью стоит «минус» — знаменатель заменён на противоположный: \(y - x\). В дроби \(-\frac{\ldots}{x - y}\) знаменатель прежний, поэтому на противоположный заменён числитель: \(z - x\):
\[\frac{x - z}{x - y} = \frac{z - x}{y - x} = -\frac{x - z}{y - x} = -\frac{z - x}{x - y}.\]
г) В дроби \(-\frac{\ldots}{p + c}\) знаменатель прежний, а перед дробью стоит «минус» — числитель заменён на противоположный: \(c - p\). В дроби \(-\frac{p - c}{\ldots}\) числитель прежний, поэтому на противоположный заменён знаменатель: \(-p - c\). В дроби \(\frac{\ldots}{-p - c}\) знаменатель заменён на противоположный, а знака «минус» перед дробью нет — значит, на противоположный заменён и числитель: \(c - p\):
\[\frac{p - c}{p + c} = -\frac{c - p}{p + c} = -\frac{p - c}{-p - c} = \frac{c - p}{-p - c}.\]
Ответ: а) \(\frac{m}{n} = -\frac{m}{-n} = -\frac{-m}{n} = -\frac{m}{-n}\); б) \(\frac{a}{a - b} = \frac{-a}{b - a} = -\frac{-a}{a - b} = -\frac{a}{b - a}\); в) \(\frac{x - z}{x - y} = \frac{z - x}{y - x} = -\frac{x - z}{y - x} = -\frac{z - x}{x - y}\); г) \(\frac{p - c}{p + c} = -\frac{c - p}{p + c} = -\frac{p - c}{-p - c} = \frac{c - p}{-p - c}\).
