Страница 14 номер 1.21, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Приведите дробь:
а) \(\frac{a}{c}\) к знаменателю \(2c\); \(ac\); \(-c\); \(c^2\); \(3c^2\);
б) \(\frac{x+y}{xy}\) к знаменателю \(x^2y^2\); \(xy^2\); \(x^3y\); \(2xy\); \(-xy\);
в) \(\frac{m}{m-n}\) к знаменателю \(m(m-n)\); \(m^2-n^2\); \(m^2n-mn^2\);
г) \(\frac{x-1}{x+1}\) к знаменателю \((x+1)^2\); \(x^2-1\); \(x^2+x\).
а) \[\begin{aligned} &\frac{a}{c} = \frac{a \cdot 2}{c \cdot 2} = \frac{2a}{2c}; \\ &\frac{a}{c} = \frac{a \cdot a}{c \cdot a} = \frac{a^2}{ac}; \\ &\frac{a}{c} = \frac{a \cdot (-1)}{c \cdot (-1)} = \frac{-a}{-c}; \\ &\frac{a}{c} = \frac{a \cdot c}{c \cdot c} = \frac{ac}{c^2}; \\ &\frac{a}{c} = \frac{a \cdot 3c}{c \cdot 3c} = \frac{3ac}{3c^2}. \end{aligned}\]
б) \[\begin{aligned} &\frac{x + y}{xy} = \frac{(x + y) \cdot xy}{xy \cdot xy} = \frac{x^2y + xy^2}{x^2y^2}; \\ &\frac{x + y}{xy} = \frac{(x + y) \cdot y}{xy \cdot y} = \frac{xy + y^2}{xy^2}; \\ &\frac{x + y}{xy} = \frac{(x + y) \cdot x^2}{xy \cdot x^2} = \frac{x^3 + x^2y}{x^3y}; \\ &\frac{x + y}{xy} = \frac{(x + y) \cdot 2}{xy \cdot 2} = \frac{2x + 2y}{2xy}; \\ &\frac{x + y}{xy} = \frac{(x + y) \cdot (-1)}{xy \cdot (-1)} = \frac{-x - y}{-xy}. \end{aligned}\]
в) \[\begin{aligned} &\frac{m}{m - n} = \frac{m \cdot m}{(m - n) \cdot m} = \frac{m^2}{m(m - n)}; \\ &\frac{m}{m - n} = \frac{m(m + n)}{(m - n)(m + n)} = \frac{m^2 + mn}{m^2 - n^2}; \\ &\frac{m}{m - n} = \frac{m \cdot mn}{(m - n) \cdot mn} = \frac{m^2n}{m^2n - mn^2}. \end{aligned}\]
г) \[\begin{aligned} &\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x + 1)(x + 1)} = \frac{x^2 - 1}{(x + 1)^2}; \\ &\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x - 1)(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{(x - 1)^2}{x^2 - 1}; \\ &\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x - 1) \cdot x}{(x + 1) \cdot x} = \frac{x^2 - x}{x^2 + x}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{2a}{2c}\); \(\frac{a^2}{ac}\); \(\frac{-a}{-c}\); \(\frac{ac}{c^2}\); \(\frac{3ac}{3c^2}\); б) \(\frac{x^2y + xy^2}{x^2y^2}\); \(\frac{xy + y^2}{xy^2}\); \(\frac{x^3 + x^2y}{x^3y}\); \(\frac{2x + 2y}{2xy}\); \(\frac{-x - y}{-xy}\); в) \(\frac{m^2}{m(m - n)}\); \(\frac{m^2 + mn}{m^2 - n^2}\); \(\frac{m^2n}{m^2n - mn^2}\); г) \(\frac{x^2 - 1}{(x + 1)^2}\); \(\frac{(x - 1)^2}{x^2 - 1}\); \(\frac{x^2 - x}{x^2 + x}\).
Приведите дробь:
а) \(\frac{a}{c}\) к знаменателю \(2c\); \(ac\); \(-c\); \(c^2\); \(3c^2\);
б) \(\frac{x+y}{xy}\) к знаменателю \(x^2y^2\); \(xy^2\); \(x^3y\); \(2xy\); \(-xy\);
в) \(\frac{m}{m-n}\) к знаменателю \(m(m-n)\); \(m^2-n^2\); \(m^2n-mn^2\);
г) \(\frac{x-1}{x+1}\) к знаменателю \((x+1)^2\); \(x^2-1\); \(x^2+x\).
Чтобы привести дробь к новому знаменателю, надо найти дополнительный множитель — выражение, которым новый знаменатель отличается от прежнего, — и умножить на него числитель и знаменатель дроби.
а) Дополнительные множители — 2, \(a\), \((-1)\), \(c\) и \(3c\):
\[\begin{aligned} &\frac{a}{c} = \frac{a \cdot 2}{c \cdot 2} = \frac{2a}{2c}; \\ &\frac{a}{c} = \frac{a \cdot a}{c \cdot a} = \frac{a^2}{ac}; \\ &\frac{a}{c} = \frac{a \cdot (-1)}{c \cdot (-1)} = \frac{-a}{-c}; \\ &\frac{a}{c} = \frac{a \cdot c}{c \cdot c} = \frac{ac}{c^2}; \\ &\frac{a}{c} = \frac{a \cdot 3c}{c \cdot 3c} = \frac{3ac}{3c^2}. \end{aligned}\]
б) Дополнительные множители — \(xy\), \(y\), \(x^2\), 2 и \((-1)\):
\[\begin{aligned} &\frac{x + y}{xy} = \frac{(x + y) \cdot xy}{xy \cdot xy} = \frac{x^2y + xy^2}{x^2y^2}; \\ &\frac{x + y}{xy} = \frac{(x + y) \cdot y}{xy \cdot y} = \frac{xy + y^2}{xy^2}; \\ &\frac{x + y}{xy} = \frac{(x + y) \cdot x^2}{xy \cdot x^2} = \frac{x^3 + x^2y}{x^3y}; \\ &\frac{x + y}{xy} = \frac{(x + y) \cdot 2}{xy \cdot 2} = \frac{2x + 2y}{2xy}; \\ &\frac{x + y}{xy} = \frac{(x + y) \cdot (-1)}{xy \cdot (-1)} = \frac{-x - y}{-xy}. \end{aligned}\]
в) Разложим новые знаменатели на множители: \(m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)\), \(m^2n - mn^2 = mn(m - n)\). Дополнительные множители — \(m\), \(m + n\) и \(mn\):
\[\begin{aligned} &\frac{m}{m - n} = \frac{m \cdot m}{(m - n) \cdot m} = \frac{m^2}{m(m - n)}; \\ &\frac{m}{m - n} = \frac{m(m + n)}{(m - n)(m + n)} = \frac{m^2 + mn}{m^2 - n^2}; \\ &\frac{m}{m - n} = \frac{m \cdot mn}{(m - n) \cdot mn} = \frac{m^2n}{m^2n - mn^2}. \end{aligned}\]
г) Разложим новые знаменатели на множители: \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\), \(x^2 + x = x(x + 1)\). Дополнительные множители — \(x + 1\), \(x - 1\) и \(x\):
\[\begin{aligned} &\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x + 1)(x + 1)} = \frac{x^2 - 1}{(x + 1)^2}; \\ &\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x - 1)(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{(x - 1)^2}{x^2 - 1}; \\ &\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x - 1) \cdot x}{(x + 1) \cdot x} = \frac{x^2 - x}{x^2 + x}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{2a}{2c}\); \(\frac{a^2}{ac}\); \(\frac{-a}{-c}\); \(\frac{ac}{c^2}\); \(\frac{3ac}{3c^2}\); б) \(\frac{x^2y + xy^2}{x^2y^2}\); \(\frac{xy + y^2}{xy^2}\); \(\frac{x^3 + x^2y}{x^3y}\); \(\frac{2x + 2y}{2xy}\); \(\frac{-x - y}{-xy}\); в) \(\frac{m^2}{m(m - n)}\); \(\frac{m^2 + mn}{m^2 - n^2}\); \(\frac{m^2n}{m^2n - mn^2}\); г) \(\frac{x^2 - 1}{(x + 1)^2}\); \(\frac{(x - 1)^2}{x^2 - 1}\); \(\frac{x^2 - x}{x^2 + x}\).
