Страница 13 номер 1.20, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Дополните равенства (многоточием отмечены пропущенные выражения):
а) \(\frac{5}{a}=\frac{\ldots}{2a}=\frac{\ldots}{a^2}=\frac{5c}{\ldots}=\frac{5(a+b)}{\ldots}\);
б) \(\frac{x-y}{x+y}=\frac{\ldots}{(x+y)^2}=\frac{(x-y)^2}{\ldots}=\frac{\ldots}{ax+ay}=\frac{x^2-xy}{\ldots}\).
а) Дополнительные множители — 2, \(a\), \(c\) и \(a + b\):
\[\begin{aligned} &\frac{5}{a} = \frac{10}{2a} = \frac{5a}{a^2} = {} \\ &= \frac{5c}{ac} = \frac{5(a + b)}{a(a + b)}. \end{aligned}\]
б) Разложим новые знаменатели: \(ax + ay = a(x + y)\), \(x^2 - xy = x(x - y)\); дополнительные множители — \(x + y\), \(x - y\), \(a\) и \(x\):
\[\begin{aligned} &\frac{x - y}{x + y} = \frac{(x - y)(x + y)}{(x + y)^2} = \frac{(x - y)^2}{x^2 - y^2} = {} \\ &= \frac{ax - ay}{ax + ay} = \frac{x^2 - xy}{x^2 + xy}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{5}{a} = \frac{10}{2a} = \frac{5a}{a^2} = \frac{5c}{ac} = \frac{5(a + b)}{a(a + b)}\); б) \(\frac{x - y}{x + y} = \frac{(x - y)(x + y)}{(x + y)^2} = \frac{(x - y)^2}{x^2 - y^2} = \frac{ax - ay}{ax + ay} = \frac{x^2 - xy}{x^2 + xy}\).
Дополните равенства (многоточием отмечены пропущенные выражения):
а) \(\frac{5}{a}=\frac{\ldots}{2a}=\frac{\ldots}{a^2}=\frac{5c}{\ldots}=\frac{5(a+b)}{\ldots}\);
б) \(\frac{x-y}{x+y}=\frac{\ldots}{(x+y)^2}=\frac{(x-y)^2}{\ldots}=\frac{\ldots}{ax+ay}=\frac{x^2-xy}{\ldots}\).
Равная дробь получается по основному свойству дроби: числитель и знаменатель умножают на один и тот же ненулевой множитель.
а) Знаменатель \(2a\) получается из знаменателя \(a\) умножением на 2, поэтому на 2 умножается и числитель: \(\frac{5 \cdot 2}{a \cdot 2} = \frac{10}{2a}\). Знаменатель \(a^2\) отличается от знаменателя \(a\) множителем \(a\), поэтому числитель равен \(5a\). В дроби \(\frac{5c}{\ldots}\) числитель умножен на \(c\), значит, знаменатель равен \(ac\); в дроби \(\frac{5(a + b)}{\ldots}\) числитель умножен на \(a + b\), значит, знаменатель равен \(a(a + b)\).
\[\begin{aligned} &\frac{5}{a} = \frac{10}{2a} = \frac{5a}{a^2} = {} \\ &= \frac{5c}{ac} = \frac{5(a + b)}{a(a + b)}. \end{aligned}\]
б) Знаменатель \((x + y)^2\) отличается от знаменателя \(x + y\) множителем \(x + y\), поэтому числитель равен \((x - y)(x + y)\). В дроби \(\frac{(x - y)^2}{\ldots}\) числитель умножен на \(x - y\), значит, знаменатель равен \((x + y)(x - y) = x^2 - y^2\). Далее \(ax + ay = a(x + y)\) — дополнительный множитель равен \(a\), и числитель равен \(ax - ay\); наконец, \(x^2 - xy = x(x - y)\) — дополнительный множитель равен \(x\), и знаменатель равен \(x^2 + xy\).
\[\begin{aligned} &\frac{x - y}{x + y} = \frac{(x - y)(x + y)}{(x + y)^2} = \frac{(x - y)^2}{x^2 - y^2} = {} \\ &= \frac{ax - ay}{ax + ay} = \frac{x^2 - xy}{x^2 + xy}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{5}{a} = \frac{10}{2a} = \frac{5a}{a^2} = \frac{5c}{ac} = \frac{5(a + b)}{a(a + b)}\); б) \(\frac{x - y}{x + y} = \frac{(x - y)(x + y)}{(x + y)^2} = \frac{(x - y)^2}{x^2 - y^2} = \frac{ax - ay}{ax + ay} = \frac{x^2 - xy}{x^2 + xy}\).
