Вопросы после параграфа 1.2 на странице 13, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
• Приведите дробь \(\frac{13}{17}\) к знаменателю 51 и сформулируйте свойство, которым вы при этом пользуетесь. Примените это свойство к сокращению дроби \(\frac{60}{75}\).
• а) Какие преобразования алгебраической дроби можно выполнять на основе основного свойства алгебраической дроби (примеры 1 и 2 из фрагмента 1)? Сформулируйте это свойство.
б) Приведите дробь из примера 1 к знаменателю \(x^2-xy\).
в) Сократите дробь \(\frac{ac^2}{ac-bc}\), действуя по тому же плану, что и в примере 2.
• а) Запишите равенство, которое получится в результате умножения числителя и знаменателя дроби \(\frac{A}{B}\) на \((-1)\). Прочитайте в учебном пособии соответствующее свойство алгебраической дроби (фрагмент 2).
б) Сократите дробь \(\frac{3x-3y}{y^2-x^2}\), действуя по тому же плану, что и в примере 4.
Прочитайте свойство, которым вы при этом пользовались.
Дополнительный множитель — 3:
\[\frac{13}{17} = \frac{13 \cdot 3}{17 \cdot 3} = \frac{39}{51}.\]
Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной.
\[\frac{60}{75} = \frac{4 \cdot 15}{5 \cdot 15} = \frac{4}{5}.\]
Ответ: \(\frac{13}{17} = \frac{39}{51}\); если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной; \(\frac{60}{75} = \frac{4}{5}\).
а) На основе основного свойства выполняют приведение дроби к новому знаменателю и сокращение дроби. Само свойство: если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится дробь, равная данной, то есть \(\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}\), где \(C \ne 0\).
б) Дробь из примера 1 — \(\frac{3}{x - y}\); так как \(x^2 - xy = x(x - y)\), дополнительный множитель равен \(x\):
\[\frac{3}{x - y} = \frac{3 \cdot x}{(x - y) \cdot x} = \frac{3x}{x^2 - xy}.\]
в) \[\frac{ac^2}{ac - bc} = \frac{c \cdot ac}{c(a - b)} = \frac{ac}{a - b}.\]
Ответ: а) приведение дроби к новому знаменателю и сокращение дроби; если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится дробь, равная данной, то есть \(\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}\), где \(C \ne 0\); б) \(\frac{3x}{x^2 - xy}\); в) \(\frac{ac}{a - b}\).
а) \[\frac{A}{B} = \frac{A \cdot (-1)}{B \cdot (-1)} = \frac{-A}{-B}.\]
Свойство: если и числитель, и знаменатель дроби заменить на противоположные выражения, то получится дробь, равная данной.
б) \[\frac{3x - 3y}{y^2 - x^2} = \frac{3(x - y)}{(y - x)(y + x)}.\]
Заменим \(y - x\) на \(x - y\) и поставим знак «минус» перед дробью:
\[\frac{3(x - y)}{(y - x)(y + x)} = -\frac{3(x - y)}{(x - y)(y + x)} = -\frac{3}{x + y}.\]
Применено свойство: если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной.
Ответ: а) \(\frac{A}{B} = \frac{-A}{-B}\) — если и числитель, и знаменатель дроби заменить на противоположные выражения, то получится дробь, равная данной; б) \(-\frac{3}{x + y}\).
• Приведите дробь \(\frac{13}{17}\) к знаменателю 51 и сформулируйте свойство, которым вы при этом пользуетесь. Примените это свойство к сокращению дроби \(\frac{60}{75}\).
• а) Какие преобразования алгебраической дроби можно выполнять на основе основного свойства алгебраической дроби (примеры 1 и 2 из фрагмента 1)? Сформулируйте это свойство.
б) Приведите дробь из примера 1 к знаменателю \(x^2-xy\).
в) Сократите дробь \(\frac{ac^2}{ac-bc}\), действуя по тому же плану, что и в примере 2.
• а) Запишите равенство, которое получится в результате умножения числителя и знаменателя дроби \(\frac{A}{B}\) на \((-1)\). Прочитайте в учебном пособии соответствующее свойство алгебраической дроби (фрагмент 2).
б) Сократите дробь \(\frac{3x-3y}{y^2-x^2}\), действуя по тому же плану, что и в примере 4.
Прочитайте свойство, которым вы при этом пользовались.
Новый знаменатель 51 получается из знаменателя 17 умножением на 3, поэтому дополнительный множитель равен 3:
\[\frac{13}{17} = \frac{13 \cdot 3}{17 \cdot 3} = \frac{39}{51}.\]
При этом пользуются основным свойством дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной.
Чтобы сократить дробь \(\frac{60}{75}\), разделим её числитель и знаменатель на одно и то же число 15:
\[\frac{60}{75} = \frac{4 \cdot 15}{5 \cdot 15} = \frac{4}{5}.\]
Ответ: \(\frac{13}{17} = \frac{39}{51}\); если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной; \(\frac{60}{75} = \frac{4}{5}\).
а) На основе основного свойства алгебраической дроби выполняют два преобразования: приведение дроби к новому знаменателю, когда числитель и знаменатель умножают на дополнительный множитель, и сокращение дроби, когда числитель и знаменатель делят на их общий множитель.
Само свойство: если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится дробь, равная данной. С помощью букв его записывают так: \(\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}\), где \(C \ne 0\).
б) К новому знаменателю нужно привести дробь \(\frac{3}{x - y}\). Так как \(x^2 - xy = x(x - y)\), новый знаменатель отличается от исходного множителем \(x\), то есть дополнительный множитель равен \(x\):
\[\frac{3}{x - y} = \frac{3 \cdot x}{(x - y) \cdot x} = \frac{3x}{x^2 - xy}.\]
в) Разложим знаменатель дроби на множители и выделим в числителе и знаменателе общий множитель:
\[\frac{ac^2}{ac - bc} = \frac{c \cdot ac}{c(a - b)} = \frac{ac}{a - b}.\]
Дальнейшее сокращение дроби невозможно.
Ответ: а) приведение дроби к новому знаменателю и сокращение дроби; если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится дробь, равная данной, то есть \(\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}\), где \(C \ne 0\); б) \(\frac{3x}{x^2 - xy}\); в) \(\frac{ac}{a - b}\).
а) Умножим числитель и знаменатель дроби \(\frac{A}{B}\) на \((-1)\):
\[\frac{A}{B} = \frac{A \cdot (-1)}{B \cdot (-1)} = \frac{-A}{-B}.\]
Это равенство читается так: если и числитель, и знаменатель дроби заменить на противоположные выражения, то получится дробь, равная данной.
б) Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:
\[\frac{3x - 3y}{y^2 - x^2} = \frac{3(x - y)}{(y - x)(y + x)}.\]
Множители \(x - y\) и \(y - x\) «почти одинаковы» — они различаются только знаками. Заменим выражение \(y - x\) в знаменателе на \(x - y\) и поставим знак «минус» перед дробью, после чего сократим дробь на \(x - y\):
\[\frac{3(x - y)}{(y - x)(y + x)} = -\frac{3(x - y)}{(x - y)(y + x)} = -\frac{3}{x + y}.\]
Здесь применено свойство: если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной.
Ответ: а) \(\frac{A}{B} = \frac{-A}{-B}\) — если и числитель, и знаменатель дроби заменить на противоположные выражения, то получится дробь, равная данной; б) \(-\frac{3}{x + y}\).
