Страница 57 номер 1.197, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
При каких натуральных значениях \(n\) можно сократить дробь:
а) \(\frac{3n + 1}{10}\);
б) \(\frac{5n + 3}{4}\);
в) \(\frac{4n + 2}{5}\)?
а) Пусть \(n = 10k + r\), где \(r\) — остаток от деления \(n\) на 10, \(k = 0\); 1; 2; … . Тогда
\[\frac{3(10k + r) + 1}{10} = \frac{30k + 3r + 1}{10} = 3k + \frac{3r + 1}{10}.\]
Данная дробь сократима, если сократима дробь \(\frac{3r + 1}{10}\). Остаток \(r\) принимает лишь 10 значений: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline r & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 3r + 1 & 1 & 4 & 7 & 10 & 13 \\ \hline \text{Общие делители } 3r + 1 \text{ и } 10 & \text{нет} & \text{есть} & \text{нет} & \text{есть} & \text{нет} \\ \hline \end{array}\]
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline r & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline 3r + 1 & 16 & 19 & 22 & 25 & 28 \\ \hline \text{Общие делители } 3r + 1 \text{ и } 10 & \text{есть} & \text{нет} & \text{есть} & \text{есть} & \text{есть} \\ \hline \end{array}\]
Общие делители есть при \(r = 1\); 3; 5; 7; 8; 9: остатки 1; 3; 5; 7; 9 дают все нечётные значения \(n\), а остаток 8 — значения \(n = 10k + 8\), то есть 8; 18; 28 и т. д.
б) Пусть \(n = 4k + r\), где \(r\) — остаток от деления \(n\) на 4, \(k = 0\); 1; 2; … . Тогда
\[\frac{5(4k + r) + 3}{4} = \frac{20k + 5r + 3}{4} = 5k + \frac{5r + 3}{4}.\]
Данная дробь сократима, если сократима дробь \(\frac{5r + 3}{4}\). Остаток \(r\) принимает лишь 4 значения: 0; 1; 2; 3.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline r & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 5r + 3 & 3 & 8 & 13 & 18 \\ \hline \text{Общие делители } 5r + 3 \text{ и } 4 & \text{нет} & \text{есть} & \text{нет} & \text{есть} \\ \hline \end{array}\]
Общие делители есть при \(r = 1\) и \(r = 3\), то есть при \(n = 4k + 1\) и \(n = 4k + 3\), а это все нечётные значения \(n\).
в) Пусть \(n = 5k + r\), где \(r\) — остаток от деления \(n\) на 5, \(k = 0\); 1; 2; … . Тогда
\[\frac{4(5k + r) + 2}{5} = \frac{20k + 4r + 2}{5} = 4k + \frac{4r + 2}{5}.\]
Данная дробь сократима, если сократима дробь \(\frac{4r + 2}{5}\). Остаток \(r\) принимает лишь 5 значений: 0; 1; 2; 3; 4.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline r & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 4r + 2 & 2 & 6 & 10 & 14 & 18 \\ \hline \text{Общие делители } 4r + 2 \text{ и } 5 & \text{нет} & \text{нет} & \text{есть} & \text{нет} & \text{нет} \\ \hline \end{array}\]
Общие делители есть только при \(r = 2\), то есть при \(n = 5k + 2\): это числа 2; 7; 12; 17 и т. д.
Ответ: а) при всех нечётных \(n\) и при \(n = 10k + 8\); б) при всех нечётных \(n\); в) при \(n = 5k + 2\); всюду \(k = 0\); 1; 2; … .
При каких натуральных значениях \(n\) можно сократить дробь:
а) \(\frac{3n + 1}{10}\);
б) \(\frac{5n + 3}{4}\);
в) \(\frac{4n + 2}{5}\)?
а) Речь идёт о делении на 10, поэтому число \(n\) запишем в виде \(n = 10k + r\), где \(r\) — остаток от деления \(n\) на 10, \(k = 0\); 1; 2; … . Выполнив подстановку, получим
\[\frac{3(10k + r) + 1}{10} = \frac{30k + 3r + 1}{10} = 3k + \frac{3r + 1}{10}.\]
Данная дробь будет сократимой, если сократима дробь \(\frac{3r + 1}{10}\). Остаток \(r\) принимает лишь 10 значений: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Переберём их, ведя запись в виде таблицы.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline r & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 3r + 1 & 1 & 4 & 7 & 10 & 13 \\ \hline \text{Общие делители } 3r + 1 \text{ и } 10 & \text{нет} & \text{есть} & \text{нет} & \text{есть} & \text{нет} \\ \hline \end{array}\]
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline r & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline 3r + 1 & 16 & 19 & 22 & 25 & 28 \\ \hline \text{Общие делители } 3r + 1 \text{ и } 10 & \text{есть} & \text{нет} & \text{есть} & \text{есть} & \text{есть} \\ \hline \end{array}\]
Общие делители есть при \(r = 1\); 3; 5; 7; 8; 9, то есть при \(n = 10k + 1\); \(10k + 3\); \(10k + 5\); \(10k + 7\); \(10k + 8\); \(10k + 9\). Остатки 1; 3; 5; 7; 9 дают все нечётные значения \(n\), а остаток 8 — значения 8; 18; 28 и т. д.
б) Речь идёт о делении на 4, поэтому запишем \(n = 4k + r\), где \(r\) — остаток от деления \(n\) на 4, \(k = 0\); 1; 2; … . Выполнив подстановку, получим
\[\frac{5(4k + r) + 3}{4} = \frac{20k + 5r + 3}{4} = 5k + \frac{5r + 3}{4}.\]
Данная дробь будет сократимой, если сократима дробь \(\frac{5r + 3}{4}\). Остаток \(r\) принимает лишь 4 значения: 0; 1; 2; 3.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline r & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 5r + 3 & 3 & 8 & 13 & 18 \\ \hline \text{Общие делители } 5r + 3 \text{ и } 4 & \text{нет} & \text{есть} & \text{нет} & \text{есть} \\ \hline \end{array}\]
Общие делители есть при \(r = 1\) и \(r = 3\), то есть при \(n = 4k + 1\) и \(n = 4k + 3\), а это все нечётные значения \(n\).
в) Речь идёт о делении на 5, поэтому запишем \(n = 5k + r\), где \(r\) — остаток от деления \(n\) на 5, \(k = 0\); 1; 2; … . Выполнив подстановку, получим
\[\frac{4(5k + r) + 2}{5} = \frac{20k + 4r + 2}{5} = 4k + \frac{4r + 2}{5}.\]
Данная дробь будет сократимой, если сократима дробь \(\frac{4r + 2}{5}\). Остаток \(r\) принимает лишь 5 значений: 0; 1; 2; 3; 4.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline r & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 4r + 2 & 2 & 6 & 10 & 14 & 18 \\ \hline \text{Общие делители } 4r + 2 \text{ и } 5 & \text{нет} & \text{нет} & \text{есть} & \text{нет} & \text{нет} \\ \hline \end{array}\]
Общие делители есть только при \(r = 2\), то есть при \(n = 5k + 2\): это числа 2; 7; 12; 17 и т. д.
Ответ: а) при всех нечётных \(n\) и при \(n = 10k + 8\); б) при всех нечётных \(n\); в) при \(n = 5k + 2\); всюду \(k = 0\); 1; 2; … .
