Это надо знать на страницах 57-58, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева

В алгебраическую дробь нельзя подставлять числа, которые обращают её знаменатель в нуль. Чтобы найти такие числа, приравняем знаменатель дроби к нулю и решим полученное уравнение.

а) \(x + 8 = 0\); \(x = -8\). Число \(-8\) не входит во множество допустимых значений переменной.

б) \(a^2 = 0\); \(a = 0\). Число 0 не входит во множество допустимых значений переменной.

Ответ: а) \(-8\); б) 0; вместо букв в алгебраическую дробь нельзя подставлять числа, обращающие её знаменатель в нуль.

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится дробь, равная данной. В буквенном виде \(\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}\), где \(C \ne 0\).

Разложим новый знаменатель на множители: \(ab + b^2 = b(a + b)\). Он отличается от знаменателя данной дроби множителем \(b\), значит, дополнительный множитель равен \(b\). Умножим на него числитель и знаменатель дроби:
\[\frac{a}{a + b} = \frac{a \cdot b}{(a + b) \cdot b} = \frac{ab}{ab + b^2}.\]

Ответ: если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится дробь, равная данной: \(\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}\) при \(C \ne 0\); дополнительный множитель равен \(b\), и \(\frac{a}{a + b} = \frac{ab}{ab + b^2}\).

Чтобы сократить дробь, надо разложить её числитель и знаменатель на множители и разделить их на общий множитель: по основному свойству дроби получится дробь, равная данной.

В числителе и в знаменателе вынесем за скобки общий множитель \(m\) и сократим дробь на \(m\):
\[\frac{m - mn}{m^2 - mn} = \frac{m(1 - n)}{m(m - n)} = \frac{1 - n}{m - n}.\]

Дальнейшее сокращение дроби невозможно.

Ответ: после разложения числителя и знаменателя на множители дробь сокращается на общий множитель \(m\): \(\frac{m - mn}{m^2 - mn} = \frac{1 - n}{m - n}\).

Равенство \(\frac{a}{b} = \frac{-a}{-b}\) читается так: если и числитель, и знаменатель дроби заменить на противоположные выражения, то получится дробь, равная данной.

Равенства \(\frac{a}{b} = -\frac{a}{-b}\) и \(\frac{a}{b} = -\frac{-a}{b}\) читаются так: если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной.

Для дроби \(\frac{a - 2}{b - 1}\) выражение, противоположное числителю, равно \(2 - a\), а противоположное знаменателю — \(1 - b\). Поэтому
\[\frac{a - 2}{b - 1} = \frac{2 - a}{1 - b} = -\frac{a - 2}{1 - b} = -\frac{2 - a}{b - 1}.\]

Ответ: если и числитель, и знаменатель дроби заменить на противоположные выражения, получится дробь, равная данной; если заменить на противоположное только числитель или только знаменатель, надо поменять знак перед дробью; \(\frac{a - 2}{b - 1} = \frac{2 - a}{1 - b} = -\frac{a - 2}{1 - b} = -\frac{2 - a}{b - 1}\).

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:
\[\frac{3y - 3x}{x^2 - y^2} = \frac{3(y - x)}{(x - y)(x + y)}.\]

Множители \(y - x\) и \(x - y\) различаются только знаками. Заменим в числителе выражение \(y - x\) на противоположное ему \(x - y\), поставив знак «минус» перед дробью, после чего сократим дробь на \(x - y\):
\[\frac{3(y - x)}{(x - y)(x + y)} = -\frac{3(x - y)}{(x - y)(x + y)} = -\frac{3}{x + y}.\]

Ответ: заменив в числителе \(y - x\) на \(x - y\) со знаком «минус» перед дробью, получаем общий множитель и сокращаем на него: \(\frac{3y - 3x}{x^2 - y^2} = -\frac{3}{x + y}\).

Дроби с разными знаменателями сначала приводят к общему знаменателю, а затем складывают по правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями: складывают числители, а знаменатель оставляют тем же. Общим знаменателем может служить любое выражение, которое делится на каждый из знаменателей.

Знаменатели данных дробей — \(xm\) и \(ym\), их произведение равно \(xym^2\). Но общий знаменатель должен делиться и на \(xm\), и на \(ym\), а для этого достаточно взять более простое выражение \(xym\). Дополнительный множитель первой дроби — \(y\), второй — \(x\):
\[\begin{aligned} &\frac{x + m}{xm} + \frac{y - m}{ym} = \frac{(x + m)y}{xym} + \frac{(y - m)x}{xym} = {} \\ &= \frac{xy + my + xy - mx}{xym} = \frac{2xy + my - mx}{xym}. \end{aligned}\]

Ответ: дроби приводят к общему знаменателю (здесь это \(xym\), дополнительные множители \(y\) и \(x\)), а затем складывают их числители, оставляя знаменатель тем же: \(\frac{x + m}{xm} + \frac{y - m}{ym} = \frac{2xy + my - mx}{xym}\).

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и их знаменатели, первое произведение записать в числителе дроби, а второе — в знаменателе. В буквенном виде \(\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}\).

Знаменатель второй дроби разложим на множители по формуле разности квадратов и перемножим дроби:
\[\frac{x - y}{2x} \cdot \frac{2x^2}{x^2 - y^2} = \frac{(x - y) \cdot 2x^2}{2x \cdot (x - y)(x + y)} = \frac{x}{x + y}.\]

Ответ: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и их знаменатели, первое произведение записать в числителе, а второе — в знаменателе: \(\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}\); \(\frac{x - y}{2x} \cdot \frac{2x^2}{x^2 - y^2} = \frac{x}{x + y}\).

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю. В буквенном виде \(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}\).

Разложим знаменатели на множители: \(m^2 + mn = m(m + n)\), \(m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)\). Заменим деление умножением на дробь, обратную делителю:
\[\begin{aligned} &\frac{n}{m^2 + mn} : \frac{n^2}{m^2 - n^2} = \frac{n}{m(m + n)} \cdot \frac{(m - n)(m + n)}{n^2} = {} \\ &= \frac{n(m - n)(m + n)}{m(m + n) \cdot n^2} = \frac{m - n}{mn}. \end{aligned}\]

Ответ: чтобы разделить дробь на дробь, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю: \(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}\); \(\frac{n}{m^2 + mn} : \frac{n^2}{m^2 - n^2} = \frac{m - n}{mn}\).

Для любого числа \(a\), не равного нулю, и целого отрицательного числа \(-n\)
\[a^{-n} = \frac{1}{a^n}.\]

По этому определению
\[4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}; \qquad (-2)^{-4} = \frac{1}{(-2)^4} = \frac{1}{16}.\]

Так же находят степень с отрицательным показателем и у дробного основания:
\[\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{1}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{1}{\frac{4}{9}} = \frac{9}{4} = 2{,}25.\]

Равенство \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) означает, что числа \(a^{-n}\) и \(a^n\) взаимно обратные: их произведение равно 1. В частности, \(a^{-1}\) есть число, обратное числу \(a\), например \(5^{-1} = \frac{1}{5} = 0{,}2\).

Основание \(a\) обязано быть отличным от нуля: выражение \(0^{-5}\) смысла не имеет, потому что делить на нуль нельзя.

Ответ: для любого числа \(a \ne 0\) и целого отрицательного показателя \(-n\) степень \(a^{-n}\) равна \(\frac{1}{a^n}\); например, \(4^{-3} = \frac{1}{64}\), \((-2)^{-4} = \frac{1}{16}\), \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = 2{,}25\), \(5^{-1} = 0{,}2\).

Для любого числа \(a\), не равного нулю, \(a^0 = 1\).

По этому определению
\[9^0 = 1; \qquad (-7)^0 = 1; \qquad \left(\frac{3}{5}\right)^0 = 1; \qquad (0{,}2)^0 = 1.\]

Такое определение согласовано со свойством деления степеней: при равных показателях частное \(a^m : a^m\) равно 1 и в то же время равно \(a^{m - m} = a^0\).

Основание \(a\) и здесь обязано быть отличным от нуля: выражение \(0^0\) смысла не имеет.

Ответ: для любого числа \(a \ne 0\) степень \(a^0\) равна 1; например, \(9^0 = 1\), \((-7)^0 = 1\), \(\left(\frac{3}{5}\right)^0 = 1\), \((0{,}2)^0 = 1\); выражение \(0^0\) смысла не имеет.

Для любого \(a \ne 0\) и любых целых \(m\) и \(n\)
\[a^m \cdot a^n = a^{m + n}; \qquad a^m : a^n = a^{m - n}; \qquad (a^m)^n = a^{mn}.\]

Для любых \(a \ne 0\), \(b \ne 0\) и любого целого \(n\)
\[(ab)^n = a^n b^n; \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}.\]

Показатели здесь любые целые, поэтому в свойстве \(a^m : a^n = a^{m - n}\) ограничение \(m > n\) уже не нужно. Например:
\[\begin{aligned} &c^{-4} \cdot c^{9} = c^{-4 + 9} = c^{5}; \qquad c^{3} : c^{8} = c^{3 - 8} = c^{-5}; \\ &(c^{-2})^{-3} = c^{6}; \qquad (3c)^{-2} = 3^{-2} c^{-2} = \frac{1}{9c^2}. \end{aligned}\]

Ответ: для любого \(a \ne 0\) и любых целых \(m\) и \(n\): \(a^m \cdot a^n = a^{m + n}\), \(a^m : a^n = a^{m - n}\), \((a^m)^n = a^{mn}\); для любых \(a \ne 0\), \(b \ne 0\) и любого целого \(n\): \((ab)^n = a^n b^n\), \(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\).