Страница 57 номер 1.196, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
При каких натуральных значениях \(n\) можно сократить дробь:
а) \(\frac{2n + 1}{n - 1}\);
б) \(\frac{4n + 3}{3n - 1}\)?
а) У чисел \(2n + 1\) и \(n - 1\) общие делители те же, что у чисел \((2n + 1) - (n - 1) = n + 2\) и \(n - 1\), а у тех — те же, что у чисел \((n + 2) - (n - 1) = 3\) и \(n + 2\).
Число 3 простое, поэтому общим делителем, отличным от 1, может быть только 3; значит, \(n + 2\) должно делиться на 3, а для этого \(n\) при делении на 3 должно давать остаток 1: \(n = 1\); 4; 7; 10 и т. д.
Значение \(n = 1\) не подходит: при нём знаменатель дроби обращается в нуль и дробь не имеет смысла. Остальные значения даёт формула \(n = 3k + 1\), где \(k\) — натуральное число.
б) У чисел \(4n + 3\) и \(3n - 1\) общие делители те же, что у чисел \((4n + 3) - (3n - 1) = n + 4\) и \(3n - 1\); у чисел \(3n - 1\) и \(n + 4\) — те же, что у чисел \((3n - 1) - (n + 4) = 2n - 5\) и \(n + 4\); у чисел \(2n - 5\) и \(n + 4\) — те же, что у чисел \((2n - 5) - (n + 4) = n - 9\) и \(n + 4\), а у чисел \(n - 9\) и \(n + 4\) — те же, что у чисел \((n + 4) - (n - 9) = 13\) и \(n + 4\).
Число 13 простое, поэтому общим делителем, отличным от 1, может быть только 13; значит, \(n + 4\) должно делиться на 13, а для этого \(n\) при делении на 13 должно давать остаток 9: \(n = 9\); 22; 35; 48 и т. д., то есть \(n = 13k - 4\), где \(k\) — натуральное число.
Ответ: а) при \(n = 3k + 1\); б) при \(n = 13k - 4\); в обоих случаях \(k\) — натуральное число.
При каких натуральных значениях \(n\) можно сократить дробь:
а) \(\frac{2n + 1}{n - 1}\);
б) \(\frac{4n + 3}{3n - 1}\)?
а) У чисел \(2n + 1\) и \(n - 1\) общие делители те же самые, что и у чисел \((2n + 1) - (n - 1) = n + 2\) и \(n - 1\). А у чисел \(n + 2\) и \(n - 1\) общие делители такие же, как у чисел \((n + 2) - (n - 1) = 3\) и \(n + 2\).
Значит, мы ищем натуральные числа, являющиеся общими делителями чисел 3 и \(n + 2\). Число 3 простое, поэтому их общим делителем, отличным от 1, может быть только 3. Следовательно, нужно найти натуральные значения \(n\), при которых \(n + 2\) делится на 3, а для этого нужно, чтобы при делении на 3 число \(n\) давало остаток 1: \(n = 1\); 4; 7; 10 и т. д. Значение \(n = 1\) не подходит: при нём знаменатель дроби обращается в нуль и дробь не имеет смысла. Остальные значения описывает формула \(n = 3k + 1\), где \(k\) — натуральное число.
б) У чисел \(4n + 3\) и \(3n - 1\) общие делители те же самые, что и у чисел \((4n + 3) - (3n - 1) = n + 4\) и \(3n - 1\). У чисел \(3n - 1\) и \(n + 4\) общие делители такие же, как у чисел \((3n - 1) - (n + 4) = 2n - 5\) и \(n + 4\). У чисел \(2n - 5\) и \(n + 4\) общие делители такие же, как у чисел \((2n - 5) - (n + 4) = n - 9\) и \(n + 4\), а у этих чисел — такие же, как у чисел \((n + 4) - (n - 9) = 13\) и \(n + 4\).
Значит, мы ищем натуральные числа, являющиеся общими делителями чисел 13 и \(n + 4\). Число 13 простое, поэтому их общим делителем, отличным от 1, может быть только 13. Следовательно, нужно найти натуральные значения \(n\), при которых \(n + 4\) делится на 13, а для этого нужно, чтобы при делении на 13 число \(n\) давало остаток 9: \(n = 9\); 22; 35; 48 и т. д. Все эти значения описывает формула \(n = 13k - 4\), где \(k\) — натуральное число.
Ответ: а) при \(n = 3k + 1\); б) при \(n = 13k - 4\); в обоих случаях \(k\) — натуральное число.
