Страница 57 номер 1.195, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Докажите:
если каждое из чисел \(a\) и \(b\) делится на число \(c\), то и их разность \(a - b\) делится на \(c\);
если каждое из чисел \(a - b\) и \(b\) делится на число \(c\), то и число \(a\) делится на \(c\).
Теперь у вас доказана теорема: числа \(a - b\) и \(b\) имеют те же общие делители, что и числа \(a\) и \(b\).
Первое утверждение. Пусть \(a\) и \(b\) делятся на \(c\): \(a = c \cdot m\) и \(b = c \cdot n\), где \(m\) и \(n\) — целые числа. Тогда \(a - b = c \cdot m - c \cdot n = c(m - n)\), а \(m - n\) — целое число, значит, разность \(a - b\) делится на \(c\).
Второе утверждение. Пусть \(a - b\) и \(b\) делятся на \(c\): \(a - b = c \cdot p\) и \(b = c \cdot q\), где \(p\) и \(q\) — целые числа. Тогда \(a = (a - b) + b = c \cdot p + c \cdot q = c(p + q)\), а \(p + q\) — целое число, значит, число \(a\) делится на \(c\).
Отсюда следует и теорема: если \(c\) — общий делитель чисел \(a\) и \(b\), то по первому утверждению он делит и разность \(a - b\); если же \(c\) — общий делитель чисел \(a - b\) и \(b\), то по второму утверждению он делит и число \(a\). Значит, у чисел \(a - b\) и \(b\) общие делители те же самые, что и у чисел \(a\) и \(b\).
Ответ: оба утверждения доказаны; числа \(a - b\) и \(b\) имеют те же общие делители, что и числа \(a\) и \(b\).
Докажите:
если каждое из чисел \(a\) и \(b\) делится на число \(c\), то и их разность \(a - b\) делится на \(c\);
если каждое из чисел \(a - b\) и \(b\) делится на число \(c\), то и число \(a\) делится на \(c\).
Теперь у вас доказана теорема: числа \(a - b\) и \(b\) имеют те же общие делители, что и числа \(a\) и \(b\).
Число делится на \(c\) тогда, когда его можно записать в виде произведения числа \(c\) и целого числа.
Первое утверждение. Пусть каждое из чисел \(a\) и \(b\) делится на \(c\). Тогда \(a = c \cdot m\) и \(b = c \cdot n\), где \(m\) и \(n\) — целые числа. Отсюда \(a - b = c \cdot m - c \cdot n = c(m - n)\). Разность \(m - n\) — целое число, значит, разность \(a - b\) записана в виде произведения числа \(c\) и целого числа, то есть делится на \(c\).
Второе утверждение. Пусть каждое из чисел \(a - b\) и \(b\) делится на \(c\). Тогда \(a - b = c \cdot p\) и \(b = c \cdot q\), где \(p\) и \(q\) — целые числа. Число \(a\) равно сумме \((a - b) + b\), поэтому \(a = c \cdot p + c \cdot q = c(p + q)\). Сумма \(p + q\) — целое число, значит, число \(a\) делится на \(c\).
Из доказанных утверждений следует и сама теорема. Если число \(c\) — общий делитель чисел \(a\) и \(b\), то по первому утверждению оно является делителем разности \(a - b\), а вместе с делимостью числа \(b\) это означает, что \(c\) — общий делитель чисел \(a - b\) и \(b\). Обратно, если число \(c\) — общий делитель чисел \(a - b\) и \(b\), то по второму утверждению оно является делителем числа \(a\), то есть \(c\) — общий делитель чисел \(a\) и \(b\). Следовательно, у чисел \(a - b\) и \(b\) общие делители те же самые, что и у чисел \(a\) и \(b\).
Ответ: оба утверждения доказаны; числа \(a - b\) и \(b\) имеют те же общие делители, что и числа \(a\) и \(b\).
