Страница 56 номер 1.194, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
При каких натуральных значениях \(n\) можно сократить дробь:
а) \(\frac{5}{n + 3}\);
б) \(\frac{7}{n + 2}\);
в) \(\frac{n + 1}{10}\)?
а) Число 5 простое, сократить дробь можно лишь на 5, то есть знаменатель \(n + 3\) должен делиться на 5. Это бывает, когда \(n\) при делении на 5 даёт остаток 2: \(n = 2\); 7; 12; 17 и т. д., то есть \(n = 5k - 3\), где \(k\) — натуральное число.
б) Число 7 простое, сократить дробь можно лишь на 7, то есть знаменатель \(n + 2\) должен делиться на 7. Это бывает, когда \(n\) при делении на 7 даёт остаток 5: \(n = 5\); 12; 19; 26 и т. д., то есть \(n = 7k - 2\), где \(k\) — натуральное число.
в) \(10 = 2 \cdot 5\), поэтому сократить дробь можно на 2 или на 5: числитель \(n + 1\) должен делиться на 2 или на 5.
\(n + 1\) делится на 2 при нечётных \(n\): \(n = 1\); 3; 5; 7 и т. д., то есть \(n = 2k - 1\).
\(n + 1\) делится на 5, когда \(n\) при делении на 5 даёт остаток 4: \(n = 4\); 9; 14; 19 и т. д., то есть \(n = 5k - 1\); в обоих случаях \(k\) — натуральное число.
Ответ: а) при \(n = 5k - 3\); б) при \(n = 7k - 2\); в) при \(n = 2k - 1\) и при \(n = 5k - 1\); всюду \(k\) — натуральное число.
При каких натуральных значениях \(n\) можно сократить дробь:
а) \(\frac{5}{n + 3}\);
б) \(\frac{7}{n + 2}\);
в) \(\frac{n + 1}{10}\)?
Дробь можно сократить тогда, когда её числитель и знаменатель имеют общий делитель, отличный от 1.
а) Число 5 простое, поэтому дробь \(\frac{5}{n + 3}\) можно сократить лишь на 5, а для этого знаменатель \(n + 3\) должен делиться на 5. Число \(n + 3\) делится на 5 тогда, когда \(n\) при делении на 5 даёт остаток 2, то есть при \(n = 2\); 7; 12; 17 и т. д. Все эти значения описывает формула \(n = 5k - 3\), где \(k\) — натуральное число.
б) Число 7 простое, поэтому дробь \(\frac{7}{n + 2}\) можно сократить лишь на 7, а для этого знаменатель \(n + 2\) должен делиться на 7. Это выполняется тогда, когда \(n\) при делении на 7 даёт остаток 5, то есть при \(n = 5\); 12; 19; 26 и т. д. Все эти значения описывает формула \(n = 7k - 2\), где \(k\) — натуральное число.
в) Знаменатель дроби \(\frac{n + 1}{10}\) раскладывается на простые множители так: \(10 = 2 \cdot 5\). Значит, дробь можно сократить на 2 или на 5, а для этого числитель \(n + 1\) должен делиться на 2 или на 5.
Число \(n + 1\) делится на 2 при нечётных \(n\), то есть при \(n = 1\); 3; 5; 7 и т. д.; все такие значения описывает формула \(n = 2k - 1\), где \(k\) — натуральное число.
Число \(n + 1\) делится на 5 тогда, когда \(n\) при делении на 5 даёт остаток 4, то есть при \(n = 4\); 9; 14; 19 и т. д.; все такие значения описывает формула \(n = 5k - 1\), где \(k\) — натуральное число.
Ответ: а) при \(n = 5k - 3\); б) при \(n = 7k - 2\); в) при \(n = 2k - 1\) и при \(n = 5k - 1\); всюду \(k\) — натуральное число.
