Страница 56 номер 1.193, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Найдите все целые значения \(n\), при которых значение дроби есть число целое:
а) \(\frac{2n^2 + 7n + 3}{2n - 1}\);
б) \(\frac{2n^3 + n^2 - 3n - 4}{n - 2}\).
а)
\[\begin{array}{rrr|l} 2n^2 & +\,7n & +\,3 & \underline{\;2n - 1\;} \\ \underline{2n^2} & \underline{-\,n} & & n + 4 \\ & 8n & +\,3 & \\ & \underline{8n} & \underline{-\,4} & \\ & & 7 & \end{array}\]
В частном \(n + 4\), в остатке 7, поэтому
\[\frac{2n^2 + 7n + 3}{2n - 1} = n + 4 + \frac{7}{2n - 1}.\]
Проверка: \((n + 4)(2n - 1) + 7 = 2n^2 + 7n - 4 + 7 = 2n^2 + 7n + 3\).
Значение многочлена \(n + 4\) при целом \(n\) целое, поэтому знаменатель \(2n - 1\) должен быть делителем числа 7. Число 7 простое, его делители 1; 7; \(-1\); \(-7\) нечётные, как и \(2n - 1\), поэтому подходит каждый из них:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline 2n - 1 & 1 & 7 & -1 & -7 \\ \hline n & 1 & 4 & 0 & -3 \\ \hline \end{array}\]
б)
\[\begin{array}{rrrr|l} 2n^3 & +\,n^2 & -\,3n & -\,4 & \underline{\;n - 2\;} \\ \underline{2n^3} & \underline{-\,4n^2} & & & 2n^2 + 5n + 7 \\ & 5n^2 & -\,3n & -\,4 & \\ & \underline{5n^2} & \underline{-\,10n} & & \\ & & 7n & -\,4 & \\ & & \underline{7n} & \underline{-\,14} & \\ & & & 10 & \end{array}\]
В частном \(2n^2 + 5n + 7\), в остатке 10, поэтому
\[\frac{2n^3 + n^2 - 3n - 4}{n - 2} = 2n^2 + 5n + 7 + \frac{10}{n - 2}.\]
Проверка: \((2n^2 + 5n + 7)(n - 2) + 10 = 2n^3 + n^2 - 3n - 14 + 10 = 2n^3 + n^2 - 3n - 4\).
Значение многочлена \(2n^2 + 5n + 7\) при целом \(n\) целое, поэтому знаменатель \(n - 2\) должен быть делителем числа 10:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline n - 2 & 1 & 2 & 5 & 10 & -1 & -2 & -5 & -10 \\ \hline n & 3 & 4 & 7 & 12 & 1 & 0 & -3 & -8 \\ \hline \end{array}\]
Ответ: а) \(n = 4\); 1; 0; \(-3\); б) \(n = 12\); 7; 4; 3; 1; 0; \(-3\); \(-8\).
Найдите все целые значения \(n\), при которых значение дроби есть число целое:
а) \(\frac{2n^2 + 7n + 3}{2n - 1}\);
б) \(\frac{2n^3 + n^2 - 3n - 4}{n - 2}\).
а) Степень многочлена в числителе выше степени многочлена в знаменателе, поэтому сначала выделим целую часть дроби — разделим её числитель на знаменатель уголком:
\[\begin{array}{rrr|l} 2n^2 & +\,7n & +\,3 & \underline{\;2n - 1\;} \\ \underline{2n^2} & \underline{-\,n} & & n + 4 \\ & 8n & +\,3 & \\ & \underline{8n} & \underline{-\,4} & \\ & & 7 & \end{array}\]
В частном получился многочлен \(n + 4\), в остатке — число 7, поэтому
\[\frac{2n^2 + 7n + 3}{2n - 1} = n + 4 + \frac{7}{2n - 1}.\]
Проверка: \((n + 4)(2n - 1) + 7 = 2n^2 + 7n - 4 + 7 = 2n^2 + 7n + 3\).
Значение многочлена \(n + 4\) при любом целом \(n\) есть число целое, поэтому остаётся найти те целые \(n\), при которых целым будет значение дроби \(\frac{7}{2n - 1}\). Для этого знаменатель \(2n - 1\) должен быть делителем числа 7. Число 7 простое, его делители 1; 7; \(-1\); \(-7\) нечётные, а \(2n - 1\) при целом \(n\) тоже нечётно, поэтому подходит каждый из них:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline 2n - 1 & 1 & 7 & -1 & -7 \\ \hline n & 1 & 4 & 0 & -3 \\ \hline \end{array}\]
б) Здесь степень многочлена в числителе тоже выше степени многочлена в знаменателе:
\[\begin{array}{rrrr|l} 2n^3 & +\,n^2 & -\,3n & -\,4 & \underline{\;n - 2\;} \\ \underline{2n^3} & \underline{-\,4n^2} & & & 2n^2 + 5n + 7 \\ & 5n^2 & -\,3n & -\,4 & \\ & \underline{5n^2} & \underline{-\,10n} & & \\ & & 7n & -\,4 & \\ & & \underline{7n} & \underline{-\,14} & \\ & & & 10 & \end{array}\]
В частном получился многочлен \(2n^2 + 5n + 7\), в остатке — число 10, поэтому
\[\frac{2n^3 + n^2 - 3n - 4}{n - 2} = 2n^2 + 5n + 7 + \frac{10}{n - 2}.\]
Проверка: \((2n^2 + 5n + 7)(n - 2) + 10 = 2n^3 + n^2 - 3n - 14 + 10 = 2n^3 + n^2 - 3n - 4\).
Значение многочлена \(2n^2 + 5n + 7\) при любом целом \(n\) есть число целое, поэтому знаменатель \(n - 2\) должен быть делителем числа 10:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline n - 2 & 1 & 2 & 5 & 10 & -1 & -2 & -5 & -10 \\ \hline n & 3 & 4 & 7 & 12 & 1 & 0 & -3 & -8 \\ \hline \end{array}\]
Ответ: а) \(n = 4\); 1; 0; \(-3\); б) \(n = 12\); 7; 4; 3; 1; 0; \(-3\); \(-8\).
