Страница 56 номер 1.191, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
При каких целых \(n\) значение дроби является числом целым:
а) \(\frac{10}{n + 5}\);
б) \(\frac{15}{2n + 1}\);
в) \(\frac{20}{3n - 4}\)?
а) Знаменатель \(n + 5\) должен быть делителем числа 10:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline n + 5 & 1 & 2 & 5 & 10 & -1 & -2 & -5 & -10 \\ \hline n & -4 & -3 & 0 & 5 & -6 & -7 & -10 & -15 \\ \hline \end{array}\]
б) Знаменатель \(2n + 1\) должен быть делителем числа 15. При целом \(n\) число \(2n + 1\) нечётно, все делители числа 15 тоже нечётные, поэтому подходит каждый из них:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 2n + 1 & 1 & 3 & 5 & 15 & -1 & -3 & -5 & -15 \\ \hline n & 0 & 1 & 2 & 7 & -1 & -2 & -3 & -8 \\ \hline \end{array}\]
в) Знаменатель \(3n - 4\) должен быть делителем числа 20; там, где целое значение \(n\) не получается, в таблице стоит слово «нет»:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 3n - 4 & 1 & 2 & 4 & 5 & 10 & 20 \\ \hline n & \text{нет} & 2 & \text{нет} & 3 & \text{нет} & 8 \\ \hline \end{array}\]
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 3n - 4 & -1 & -2 & -4 & -5 & -10 & -20 \\ \hline n & 1 & \text{нет} & 0 & \text{нет} & -2 & \text{нет} \\ \hline \end{array}\]
Ответ: а) \(n = 5\); 0; \(-3\); \(-4\); \(-6\); \(-7\); \(-10\); \(-15\); б) \(n = 7\); 2; 1; 0; \(-1\); \(-2\); \(-3\); \(-8\); в) \(n = 8\); 3; 2; 1; 0; \(-2\).
При каких целых \(n\) значение дроби является числом целым:
а) \(\frac{10}{n + 5}\);
б) \(\frac{15}{2n + 1}\);
в) \(\frac{20}{3n - 4}\)?
Числитель каждой из дробей — целое число, поэтому значение дроби будет целым тогда, когда её знаменатель является делителем числителя. Переберём все делители числителя и найдём соответствующие значения \(n\), ведя для удобства запись в виде таблицы.
а) Знаменатель \(n + 5\) должен быть делителем числа 10:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline n + 5 & 1 & 2 & 5 & 10 & -1 & -2 & -5 & -10 \\ \hline n & -4 & -3 & 0 & 5 & -6 & -7 & -10 & -15 \\ \hline \end{array}\]
б) Знаменатель \(2n + 1\) должен быть делителем числа 15. При целом \(n\) число \(2n + 1\) нечётно, а все делители числа 15 тоже нечётные, поэтому каждому из них отвечает целое значение \(n\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 2n + 1 & 1 & 3 & 5 & 15 & -1 & -3 & -5 & -15 \\ \hline n & 0 & 1 & 2 & 7 & -1 & -2 & -3 & -8 \\ \hline \end{array}\]
в) Знаменатель \(3n - 4\) должен быть делителем числа 20. Целое значение \(n\) получается не при каждом делителе — в остальных случаях в таблице стоит слово «нет»:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 3n - 4 & 1 & 2 & 4 & 5 & 10 & 20 \\ \hline n & \text{нет} & 2 & \text{нет} & 3 & \text{нет} & 8 \\ \hline \end{array}\]
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 3n - 4 & -1 & -2 & -4 & -5 & -10 & -20 \\ \hline n & 1 & \text{нет} & 0 & \text{нет} & -2 & \text{нет} \\ \hline \end{array}\]
Ответ: а) \(n = 5\); 0; \(-3\); \(-4\); \(-6\); \(-7\); \(-10\); \(-15\); б) \(n = 7\); 2; 1; 0; \(-1\); \(-2\); \(-3\); \(-8\); в) \(n = 8\); 3; 2; 1; 0; \(-2\).
