Страница 56 номер 1.190, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Выполнив деление уголком, представьте данную дробь в виде суммы многочлена и «правильной» дроби:
а) \(\frac{3n^2 - 10n - 3}{n - 4}\);
б) \(\frac{n^3 + n^2 - n + 5}{n + 2}\).
а)
\[\begin{array}{rrr|l} 3n^2 & -\,10n & -\,3 & \underline{\;n - 4\;} \\ \underline{3n^2} & \underline{-\,12n} & & 3n + 2 \\ & 2n & -\,3 & \\ & \underline{2n} & \underline{-\,8} & \\ & & 5 & \end{array}\]
В частном \(3n + 2\), в остатке 5, поэтому
\[\frac{3n^2 - 10n - 3}{n - 4} = 3n + 2 + \frac{5}{n - 4}.\]
Проверка: \((3n + 2)(n - 4) + 5 = 3n^2 - 10n - 8 + 5 = 3n^2 - 10n - 3\).
б)
\[\begin{array}{rrrr|l} n^3 & +\,n^2 & -\,n & +\,5 & \underline{\;n + 2\;} \\ \underline{n^3} & \underline{+\,2n^2} & & & n^2 - n + 1 \\ & -\,n^2 & -\,n & +\,5 & \\ & \underline{-\,n^2} & \underline{-\,2n} & & \\ & & n & +\,5 & \\ & & \underline{n} & \underline{+\,2} & \\ & & & 3 & \end{array}\]
В частном \(n^2 - n + 1\), в остатке 3, поэтому
\[\frac{n^3 + n^2 - n + 5}{n + 2} = n^2 - n + 1 + \frac{3}{n + 2}.\]
Проверка: \((n^2 - n + 1)(n + 2) + 3 = n^3 + n^2 - n + 2 + 3 = n^3 + n^2 - n + 5\).
Ответ: а) \(\frac{3n^2 - 10n - 3}{n - 4} = 3n + 2 + \frac{5}{n - 4}\); б) \(\frac{n^3 + n^2 - n + 5}{n + 2} = n^2 - n + 1 + \frac{3}{n + 2}\).
Выполнив деление уголком, представьте данную дробь в виде суммы многочлена и «правильной» дроби:
а) \(\frac{3n^2 - 10n - 3}{n - 4}\);
б) \(\frac{n^3 + n^2 - n + 5}{n + 2}\).
а) Степень многочлена в числителе выше степени многочлена в знаменателе, поэтому дробь «неправильная»: у неё можно выделить целую часть. Разделим числитель на знаменатель уголком:
\[\begin{array}{rrr|l} 3n^2 & -\,10n & -\,3 & \underline{\;n - 4\;} \\ \underline{3n^2} & \underline{-\,12n} & & 3n + 2 \\ & 2n & -\,3 & \\ & \underline{2n} & \underline{-\,8} & \\ & & 5 & \end{array}\]
В частном получился многочлен \(3n + 2\), в остатке — число 5, поэтому
\[\frac{3n^2 - 10n - 3}{n - 4} = 3n + 2 + \frac{5}{n - 4}.\]
Проверка: \((3n + 2)(n - 4) + 5 = 3n^2 - 10n - 8 + 5 = 3n^2 - 10n - 3\).
б) Степень многочлена в числителе тоже выше степени многочлена в знаменателе. Разделим числитель на знаменатель уголком:
\[\begin{array}{rrrr|l} n^3 & +\,n^2 & -\,n & +\,5 & \underline{\;n + 2\;} \\ \underline{n^3} & \underline{+\,2n^2} & & & n^2 - n + 1 \\ & -\,n^2 & -\,n & +\,5 & \\ & \underline{-\,n^2} & \underline{-\,2n} & & \\ & & n & +\,5 & \\ & & \underline{n} & \underline{+\,2} & \\ & & & 3 & \end{array}\]
В частном получился многочлен \(n^2 - n + 1\), в остатке — число 3, поэтому
\[\frac{n^3 + n^2 - n + 5}{n + 2} = n^2 - n + 1 + \frac{3}{n + 2}.\]
Проверка: \((n^2 - n + 1)(n + 2) + 3 = n^3 + n^2 - n + 2 + 3 = n^3 + n^2 - n + 5\).
Ответ: а) \(\frac{3n^2 - 10n - 3}{n - 4} = 3n + 2 + \frac{5}{n - 4}\); б) \(\frac{n^3 + n^2 - n + 5}{n + 2} = n^2 - n + 1 + \frac{3}{n + 2}\).
