Страница 11 номер 1.19, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
ИССЛЕДУЕМ. 1) Сравните значения выражения \(\frac{x^2+y^2}{xy}\) при \(x=-2\), \(y=5\) и при \(x=5\), \(y=-2\). Изменится ли данное выражение, если вместо переменной \(x\) подставить переменную \(y\), а вместо переменной \(y\) — переменную \(x\)? Проверьте свой ответ, выполнив такую замену.
2) Выражение с двумя переменными, например \(x\) и \(y\), называют симметрическим, если оно не меняется при подстановке \(y\) вместо \(x\) и \(x\) вместо \(y\). Какие из следующих выражений являются симметрическими: \(x^3+y^3\), \(x^2-y^2\), \(x(x+y)\), \(xy(x+y)\), \(\frac{x^2+y^2}{y}\), \(\frac{(x-y)^2}{xy}\), \((x+y)^2-2xy\)?
3) Придумайте примеры симметрических выражений.
1) При \(x = -2\) и \(y = 5\):
\[\frac{(-2)^2 + 5^2}{(-2) \cdot 5} = \frac{4 + 25}{-10} = \frac{29}{-10} = -2{,}9.\]
При \(x = 5\) и \(y = -2\):
\[\frac{5^2 + (-2)^2}{5 \cdot (-2)} = \frac{25 + 4}{-10} = \frac{29}{-10} = -2{,}9.\]
Значения равны.
При замене \(x\) на \(y\) и \(y\) на \(x\) получаем \(\frac{y^2 + x^2}{yx} = \frac{x^2 + y^2}{xy}\): от перестановки слагаемых сумма не меняется, а от перестановки множителей — произведение, поэтому выражение не изменяется.
2) \(x^3 + y^3\) переходит в \(y^3 + x^3\) — та же сумма, выражение симметрическое.
\(x^2 - y^2\) переходит в \(y^2 - x^2\): при \(x = 3\) и \(y = 1\) значение первого равно \(9 - 1 = 8\), а второго — \(1 - 9 = -8\), выражение не симметрическое.
\(x(x + y)\) переходит в \(y(y + x)\): при \(x = 1\) и \(y = 2\) значение первого равно \(1 \cdot (1 + 2) = 3\), а второго — \(2 \cdot (2 + 1) = 6\), выражение не симметрическое.
\(xy(x + y)\) переходит в \(yx(y + x)\) — то же произведение, выражение симметрическое.
\(\frac{x^2 + y^2}{y}\) переходит в \(\frac{y^2 + x^2}{x}\): при \(x = 1\) и \(y = 2\) значение первого равно \(\frac{1 + 4}{2} = 2{,}5\), а второго — \(\frac{4 + 1}{1} = 5\), выражение не симметрическое.
\(\frac{(x - y)^2}{xy}\) переходит в \(\frac{(y - x)^2}{yx}\) — квадраты противоположных чисел равны, поэтому выражение симметрическое.
\((x + y)^2 - 2xy\) переходит в \((y + x)^2 - 2yx\) — то же выражение, оно симметрическое.
3) Например, \(x + y\), \(xy\), \(x^2 + y^2\), \((x - y)^2\), \(\frac{x + y}{xy}\): при замене \(x\) на \(y\) и \(y\) на \(x\) каждое из них переходит в себя.
Ответ: 1) значения равны, каждое из них равно \(-2{,}9\); при замене \(x\) на \(y\) и \(y\) на \(x\) выражение не изменяется; 2) симметрические выражения — \(x^3 + y^3\), \(xy(x + y)\), \(\frac{(x - y)^2}{xy}\), \((x + y)^2 - 2xy\), а выражения \(x^2 - y^2\), \(x(x + y)\), \(\frac{x^2 + y^2}{y}\) симметрическими не являются; 3) например, \(x + y\), \(xy\), \(x^2 + y^2\), \((x - y)^2\), \(\frac{x + y}{xy}\).
ИССЛЕДУЕМ. 1) Сравните значения выражения \(\frac{x^2+y^2}{xy}\) при \(x=-2\), \(y=5\) и при \(x=5\), \(y=-2\). Изменится ли данное выражение, если вместо переменной \(x\) подставить переменную \(y\), а вместо переменной \(y\) — переменную \(x\)? Проверьте свой ответ, выполнив такую замену.
2) Выражение с двумя переменными, например \(x\) и \(y\), называют симметрическим, если оно не меняется при подстановке \(y\) вместо \(x\) и \(x\) вместо \(y\). Какие из следующих выражений являются симметрическими: \(x^3+y^3\), \(x^2-y^2\), \(x(x+y)\), \(xy(x+y)\), \(\frac{x^2+y^2}{y}\), \(\frac{(x-y)^2}{xy}\), \((x+y)^2-2xy\)?
3) Придумайте примеры симметрических выражений.
1) При \(x = -2\) и \(y = 5\) значение выражения равно
\[\frac{(-2)^2 + 5^2}{(-2) \cdot 5} = \frac{4 + 25}{-10} = \frac{29}{-10} = -2{,}9.\]
При \(x = 5\) и \(y = -2\) значение выражения равно
\[\frac{5^2 + (-2)^2}{5 \cdot (-2)} = \frac{25 + 4}{-10} = \frac{29}{-10} = -2{,}9.\]
Значения выражения при этих двух парах значений переменных равны.
Подставим в выражение \(y\) вместо \(x\) и \(x\) вместо \(y\). Получим \(\frac{y^2 + x^2}{yx}\). От перестановки слагаемых сумма не меняется, а от перестановки множителей не меняется произведение, поэтому \(\frac{y^2 + x^2}{yx} = \frac{x^2 + y^2}{xy}\) — при такой замене данное выражение не изменяется.
2) Подставим в каждое выражение \(y\) вместо \(x\) и \(x\) вместо \(y\).
\(x^3 + y^3\) переходит в \(y^3 + x^3\) — сумма тех же слагаемых, записанных в другом порядке. Выражение симметрическое.
\(x^2 - y^2\) переходит в \(y^2 - x^2\). Это разные выражения: при \(x = 3\) и \(y = 1\) значение первого равно \(9 - 1 = 8\), а второго — \(1 - 9 = -8\). Выражение не симметрическое.
\(x(x + y)\) переходит в \(y(y + x)\). При \(x = 1\) и \(y = 2\) значение первого равно \(1 \cdot (1 + 2) = 3\), а второго — \(2 \cdot (2 + 1) = 6\). Выражение не симметрическое.
\(xy(x + y)\) переходит в \(yx(y + x)\) — то же самое произведение. Выражение симметрическое.
\(\frac{x^2 + y^2}{y}\) переходит в \(\frac{y^2 + x^2}{x}\). При \(x = 1\) и \(y = 2\) значение первого равно \(\frac{1 + 4}{2} = 2{,}5\), а второго — \(\frac{4 + 1}{1} = 5\). Выражение не симметрическое.
\(\frac{(x - y)^2}{xy}\) переходит в \(\frac{(y - x)^2}{yx}\). Выражения \(x - y\) и \(y - x\) противоположны, а квадраты противоположных чисел равны, поэтому \(\frac{(y - x)^2}{yx} = \frac{(x - y)^2}{xy}\). Выражение симметрическое.
\((x + y)^2 - 2xy\) переходит в \((y + x)^2 - 2yx\) — то же самое выражение. Оно симметрическое.
3) Симметрическими будут, например, выражения \(x + y\), \(xy\), \(x^2 + y^2\), \((x - y)^2\), \(\frac{x + y}{xy}\): при подстановке \(y\) вместо \(x\) и \(x\) вместо \(y\) каждое из них переходит в себя, ведь \(y + x = x + y\), \(yx = xy\), \(y^2 + x^2 = x^2 + y^2\), \((y - x)^2 = (x - y)^2\), \(\frac{y + x}{yx} = \frac{x + y}{xy}\).
Ответ: 1) значения равны, каждое из них равно \(-2{,}9\); при замене \(x\) на \(y\) и \(y\) на \(x\) выражение не изменяется; 2) симметрические выражения — \(x^3 + y^3\), \(xy(x + y)\), \(\frac{(x - y)^2}{xy}\), \((x + y)^2 - 2xy\), а выражения \(x^2 - y^2\), \(x(x + y)\), \(\frac{x^2 + y^2}{y}\) симметрическими не являются; 3) например, \(x + y\), \(xy\), \(x^2 + y^2\), \((x - y)^2\), \(\frac{x + y}{xy}\).
