Страница 52 номер 1.182, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Решите задачу (1.178—1.185).
Андрей, развивая выносливость в беге, сначала бежал 40 мин по просёлочной дороге, а затем по лесной тропе. И хотя путь по тропе оказался на 2 км короче, он затратил на него на 5 мин больше, так как уменьшил скорость на 4 км/ч. Какое расстояние пробежал Андрей?
Дано:
\(t_1 = 40\) мин — время бега по просёлочной дороге
\(t_2\) на 5 мин больше \(t_1\) — время бега по лесной тропе
\(s_2\) на 2 км меньше \(s_1\)
\(v_2\) на 4 км/ч меньше \(v_1\)
Найти: расстояние, которое пробежал Андрей.
Решение:
Пусть \(x\) км/ч — скорость Андрея на просёлочной дороге, тогда скорость по лесной тропе — \((x - 4)\) км/ч.
\(\frac{40}{60} = \frac{2}{3}\) (ч) — время бега по дороге, путь по ней \(\frac{2x}{3}\) км.
\(40 + 5 = 45\) (мин), то есть \(\frac{45}{60} = \frac{3}{4}\) (ч), — время бега по тропе, путь по ней \(\frac{3(x - 4)}{4}\) км.
Путь по тропе на 2 км короче пути по дороге:
\[\frac{2x}{3} - \frac{3(x - 4)}{4} = 2.\]
Умножим обе части уравнения на 12:
\[\begin{aligned} &12 \cdot \left( \frac{2x}{3} - \frac{3(x - 4)}{4} \right) = 12 \cdot 2; \\ &8x - 9(x - 4) = 24; \\ &8x - 9x + 36 = 24; \\ &-x = -12; \\ &x = 12. \end{aligned}\]
\(\frac{2}{3} \cdot 12 = 8\) (км) — путь по просёлочной дороге.
\(8 - 2 = 6\) (км) — путь по лесной тропе.
\(8 + 6 = 14\) (км) — весь путь Андрея.
Проверка: скорость по тропе \(12 - 4 = 8\) (км/ч), и 6 км по тропе занимают \(6 : 8 = 0{,}75\) (ч), то есть 45 мин, — на 5 мин больше, чем 40 мин по дороге.
Ответ: Андрей пробежал 14 км.
Решите задачу (1.178—1.185).
Андрей, развивая выносливость в беге, сначала бежал 40 мин по просёлочной дороге, а затем по лесной тропе. И хотя путь по тропе оказался на 2 км короче, он затратил на него на 5 мин больше, так как уменьшил скорость на 4 км/ч. Какое расстояние пробежал Андрей?
Дано:
\(t_1 = 40\) мин — время бега по просёлочной дороге
\(t_2\) на 5 мин больше \(t_1\) — время бега по лесной тропе
\(s_2\) на 2 км меньше \(s_1\)
\(v_2\) на 4 км/ч меньше \(v_1\)
Найти: расстояние, которое пробежал Андрей.
Решение:
Пусть \(x\) км/ч — скорость Андрея на просёлочной дороге. Тогда по лесной тропе он бежал со скоростью \((x - 4)\) км/ч.
По дороге Андрей бежал 40 мин, то есть \(\frac{40}{60} = \frac{2}{3}\) (ч), и пробежал по ней \(\frac{2x}{3}\) км.
По тропе он бежал \(40 + 5 = 45\) (мин), то есть \(\frac{45}{60} = \frac{3}{4}\) (ч), и пробежал по ней \(\frac{3(x - 4)}{4}\) км.
Путь по тропе на 2 км короче пути по дороге, поэтому
\[\frac{2x}{3} - \frac{3(x - 4)}{4} = 2.\]
Умножим обе части уравнения на 12 — наименьший общий знаменатель дробей:
\[\begin{aligned} &12 \cdot \left( \frac{2x}{3} - \frac{3(x - 4)}{4} \right) = 12 \cdot 2; \\ &8x - 9(x - 4) = 24; \\ &8x - 9x + 36 = 24; \\ &-x = -12; \\ &x = 12. \end{aligned}\]
По просёлочной дороге Андрей бежал со скоростью 12 км/ч и пробежал \(\frac{2}{3} \cdot 12 = 8\) (км), по лесной тропе — на 2 км меньше, то есть \(8 - 2 = 6\) (км). Всего он пробежал \(8 + 6 = 14\) (км).
Проверка: скорость по тропе \(12 - 4 = 8\) (км/ч), и 6 км по тропе занимают \(6 : 8 = 0{,}75\) (ч), то есть 45 мин, — на 5 мин больше, чем 40 мин по дороге.
Ответ: Андрей пробежал 14 км.
