Страница 47 номер 1.164, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ
В таблице даны некоторые значения выражения \(x^{n}\). Заполните таблицу, вписывая в свободные клетки произведения или частные содержащихся в ней чисел (например, так, как это сделано на пересечении строки 4 и столбца 6). Сравните свои результаты с результатами соседа по парте. (У вас могли получиться разные выражения.)
[таблица значений выражения \(x^{n}\): строки помечены значениями \(x\) — 2, 3, 4, 6; столбцы помечены значениями \(n\) — 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, \(-5\). Заполнены не все клетки. Строка \(x = 2\): при \(n = 2\) — 4, при \(n = 3\) — 8, при \(n = 4\) — 16, при \(n = 5\) — 32, при \(n = 6\) — 64, при \(n = 7\) — 128, при \(n = 8\) — 256, при \(n = -5\) клетка пустая. Строка \(x = 3\): при \(n = 2\) — 9, при \(n = 3\) — 27, при \(n = 4\) — 81, остальные клетки пустые. Строка \(x = 4\): при \(n = 2\) — 16, при \(n = 3\) — 64, при \(n = 6\) записано произведение \(256 \cdot 16\) (это и есть образец на пересечении строки 4 и столбца 6), остальные клетки пустые. Строка \(x = 6\): при \(n = 2\) — 36, остальные клетки пустые]
Образец заполнения клетки — на пересечении строки 4 и столбца 6: \(4^{6} = 4^{4} \cdot 4^{2} = 256 \cdot 16 = 4096\).
\(2^{-5} = 2^{2} : 2^{7} = 4 : 128 = \frac{1}{32}\) — последняя клетка строки \(x = 2\).
Строка \(x = 3\): \(3^{5} = 9 \cdot 27 = 243\); \(3^{6} = 81 \cdot 9 = 729\); \(3^{7} = 27 \cdot 81 = 2187\); \(3^{8} = 81 \cdot 81 = 6561\); \(3^{-5} = 9 : (27 \cdot 81) = \frac{1}{243}\).
Строка \(x = 4\): \(4^{4} = 16 \cdot 16 = 256\); \(4^{5} = 16 \cdot 64 = 1024\); \(4^{7} = 64 \cdot 256 = 16\,384\); \(4^{8} = 256 \cdot 256 = 65\,536\); \(4^{-5} = 16 : (64 \cdot 256) = \frac{1}{1024}\).
Строка \(x = 6\): \(6^{n} = (2 \cdot 3)^{n} = 2^{n} \cdot 3^{n}\), поэтому перемножаем числа двух верхних строк того же столбца: \(6^{3} = 8 \cdot 27 = 216\); \(6^{4} = 16 \cdot 81 = 1296\); \(6^{5} = 32 \cdot 243 = 7776\); \(6^{6} = 64 \cdot 729 = 46\,656\); \(6^{7} = 128 \cdot 2187 = 279\,936\); \(6^{8} = 256 \cdot 6561 = 1\,679\,616\); \(6^{-5} = 36 : 279\,936 = \frac{1}{7776}\).
Заполненная таблица:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x \,\backslash\, n & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & -5 \\ \hline 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 & 128 & 256 & 4 : 128 \\ \hline 3 & 9 & 27 & 81 & 9 \cdot 27 & 81 \cdot 9 & 27 \cdot 81 & 81 \cdot 81 & 9 : (27 \cdot 81) \\ \hline 4 & 16 & 64 & 16 \cdot 16 & 16 \cdot 64 & 256 \cdot 16 & 64 \cdot 256 & 256 \cdot 256 & 16 : (64 \cdot 256) \\ \hline 6 & 36 & 8 \cdot 27 & 16 \cdot 81 & 32 \cdot 243 & 64 \cdot 729 & 128 \cdot 2187 & 256 \cdot 6561 & 36 : 279\,936 \\ \hline \end{array}\]
Одну и ту же клетку можно заполнить по-разному: для \(3^{6}\) годятся и \(81 \cdot 9\), и \(27 \cdot 27\), а значение клетки в обоих случаях равно 729.
Ответ: \(2^{-5} = \frac{1}{32}\); \(3^{5} = 243\), \(3^{6} = 729\), \(3^{7} = 2187\), \(3^{8} = 6561\), \(3^{-5} = \frac{1}{243}\); \(4^{4} = 256\), \(4^{5} = 1024\), \(4^{6} = 4096\), \(4^{7} = 16\,384\), \(4^{8} = 65\,536\), \(4^{-5} = \frac{1}{1024}\); \(6^{3} = 216\), \(6^{4} = 1296\), \(6^{5} = 7776\), \(6^{6} = 46\,656\), \(6^{7} = 279\,936\), \(6^{8} = 1\,679\,616\), \(6^{-5} = \frac{1}{7776}\); выражения в клетках у разных учеников могут быть разными, а значения — одинаковыми.
АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ
В таблице даны некоторые значения выражения \(x^{n}\). Заполните таблицу, вписывая в свободные клетки произведения или частные содержащихся в ней чисел (например, так, как это сделано на пересечении строки 4 и столбца 6). Сравните свои результаты с результатами соседа по парте. (У вас могли получиться разные выражения.)
[таблица значений выражения \(x^{n}\): строки помечены значениями \(x\) — 2, 3, 4, 6; столбцы помечены значениями \(n\) — 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, \(-5\). Заполнены не все клетки. Строка \(x = 2\): при \(n = 2\) — 4, при \(n = 3\) — 8, при \(n = 4\) — 16, при \(n = 5\) — 32, при \(n = 6\) — 64, при \(n = 7\) — 128, при \(n = 8\) — 256, при \(n = -5\) клетка пустая. Строка \(x = 3\): при \(n = 2\) — 9, при \(n = 3\) — 27, при \(n = 4\) — 81, остальные клетки пустые. Строка \(x = 4\): при \(n = 2\) — 16, при \(n = 3\) — 64, при \(n = 6\) записано произведение \(256 \cdot 16\) (это и есть образец на пересечении строки 4 и столбца 6), остальные клетки пустые. Строка \(x = 6\): при \(n = 2\) — 36, остальные клетки пустые]
В таблице записаны значения выражения \(x^{n}\): строка задаёт основание \(x\), столбец — показатель \(n\). Свободную клетку заполняем произведением или частным чисел таблицы: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении вычитаются. Так заполнена клетка на пересечении строки 4 и столбца 6: \(4^{6} = 4^{4} \cdot 4^{2} = 256 \cdot 16 = 4096\).
Строка \(x = 2\) заполнена вся, кроме последней клетки: \(2^{-5} = 2^{2} : 2^{7} = 4 : 128 = \frac{1}{32}\).
Строка \(x = 3\): \(3^{5} = 9 \cdot 27 = 243\); \(3^{6} = 81 \cdot 9 = 729\); \(3^{7} = 27 \cdot 81 = 2187\); \(3^{8} = 81 \cdot 81 = 6561\); \(3^{-5} = 9 : (27 \cdot 81) = \frac{1}{243}\).
Строка \(x = 4\): \(4^{4} = 16 \cdot 16 = 256\); \(4^{5} = 16 \cdot 64 = 1024\); \(4^{7} = 64 \cdot 256 = 16\,384\); \(4^{8} = 256 \cdot 256 = 65\,536\); \(4^{-5} = 16 : (64 \cdot 256) = \frac{1}{1024}\).
В строке \(x = 6\) удобно перемножать числа двух верхних строк того же столбца, потому что \(6^{n} = (2 \cdot 3)^{n} = 2^{n} \cdot 3^{n}\): \(6^{3} = 8 \cdot 27 = 216\); \(6^{4} = 16 \cdot 81 = 1296\); \(6^{5} = 32 \cdot 243 = 7776\); \(6^{6} = 64 \cdot 729 = 46\,656\); \(6^{7} = 128 \cdot 2187 = 279\,936\); \(6^{8} = 256 \cdot 6561 = 1\,679\,616\); \(6^{-5} = 36 : 279\,936 = \frac{1}{7776}\).
Заполненная таблица:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x \,\backslash\, n & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & -5 \\ \hline 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 & 128 & 256 & 4 : 128 \\ \hline 3 & 9 & 27 & 81 & 9 \cdot 27 & 81 \cdot 9 & 27 \cdot 81 & 81 \cdot 81 & 9 : (27 \cdot 81) \\ \hline 4 & 16 & 64 & 16 \cdot 16 & 16 \cdot 64 & 256 \cdot 16 & 64 \cdot 256 & 256 \cdot 256 & 16 : (64 \cdot 256) \\ \hline 6 & 36 & 8 \cdot 27 & 16 \cdot 81 & 32 \cdot 243 & 64 \cdot 729 & 128 \cdot 2187 & 256 \cdot 6561 & 36 : 279\,936 \\ \hline \end{array}\]
Одну и ту же клетку можно заполнить по-разному: например, для \(3^{6}\) годится и произведение \(81 \cdot 9\), и произведение \(27 \cdot 27\), а значение клетки в обоих случаях равно 729.
Ответ: \(2^{-5} = \frac{1}{32}\); \(3^{5} = 243\), \(3^{6} = 729\), \(3^{7} = 2187\), \(3^{8} = 6561\), \(3^{-5} = \frac{1}{243}\); \(4^{4} = 256\), \(4^{5} = 1024\), \(4^{6} = 4096\), \(4^{7} = 16\,384\), \(4^{8} = 65\,536\), \(4^{-5} = \frac{1}{1024}\); \(6^{3} = 216\), \(6^{4} = 1296\), \(6^{5} = 7776\), \(6^{6} = 46\,656\), \(6^{7} = 279\,936\), \(6^{8} = 1\,679\,616\), \(6^{-5} = \frac{1}{7776}\); выражения в клетках у разных учеников могут быть разными, а значения — одинаковыми.
