Вопросы после параграфа 1.8 на странице 49, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
• Решите уравнение \(\frac{x - 1}{3} - \frac{x + 1}{2} = 1\), приняв в качестве образца пример 1, и прокомментируйте каждый шаг.
• Прокомментируйте каждый шаг решения уравнения в примере 2.
• Что понимают под словами «концентрация раствора» (фрагмент 2)? Найдите концентрацию раствора соли в банке, содержащей 750 г воды, в которую добавили 15 г соли.
• Составьте уравнение по условию задачи, взяв в качестве образца пример 3: «Имеется раствор соли, концентрация которого равна 8%. Сколько граммов соли содержится в 750 г этого раствора?»
Общий знаменатель — 6; умножим на него обе части уравнения:
\[6 \cdot \left( \frac{x - 1}{3} - \frac{x + 1}{2} \right) = 6 \cdot 1.\]
Умножим на 6 каждую дробь в скобках:
\[\frac{6(x - 1)}{3} - \frac{6(x + 1)}{2} = 6.\]
Число 6 делится и на 3, и на 2, поэтому обе дроби сокращаются:
\[2(x - 1) - 3(x + 1) = 6.\]
Раскроем скобки: перед второй скобкой стоит знак «минус», поэтому знаки обоих слагаемых в ней меняются на противоположные:
\[2x - 2 - 3x - 3 = 6.\]
Приведём подобные слагаемые, перенесём \(-5\) вправо с противоположным знаком и разделим обе части на \(-1\):
\[\begin{aligned} &-x - 5 = 6; \\ &-x = 11; \\ &x = -11. \end{aligned}\]
Ответ: \(x = -11\).
Коэффициенты уравнения \(0{,}09y + 0{,}12(10 - y) = 9\) — десятичные дроби \(0{,}09 = \frac{9}{100}\) и \(0{,}12 = \frac{12}{100}\), поэтому обе части умножают на 100:
\[100 \cdot 0{,}09y + 100 \cdot 0{,}12(10 - y) = 100 \cdot 9.\]
Вычисляют произведения — десятичные дроби исчезают:
\[9y + 12(10 - y) = 900.\]
Числа 9, 12 и 900 делятся на 3, поэтому обе части делят на 3:
\[3y + 4(10 - y) = 300.\]
Раскрывают скобки:
\[3y + 40 - 4y = 300.\]
Приводят подобные слагаемые и переносят 40 вправо с противоположным знаком:
\[-y = 260.\]
Обе части делят на \(-1\):
\[y = -260.\]
Ответ: обе части уравнения умножают на 100 и избавляются от десятичных дробей, затем делят обе части на 3, раскрывают скобки, приводят подобные слагаемые, переносят число в правую часть с противоположным знаком и делят обе части на \(-1\); корень уравнения \(y = -260\).
Концентрацией раствора называют отношение массы содержащегося в нём сухого вещества к массе раствора, выраженное в процентах.
Сухое вещество здесь — соль массой 15 г.
\(750 + 15 = 765\) (г) — масса раствора.
Концентрация раствора равна
\[\frac{15}{765} \cdot 100\% = \frac{1500}{765}\% = \frac{100}{51}\% \approx 1{,}96\%.\]
Ответ: концентрацией раствора называют отношение массы содержащегося в нём сухого вещества к массе раствора, выраженное в процентах; концентрация раствора соли в банке равна \(\frac{100}{51}\%\), то есть приблизительно \(1{,}96\%\).
Пусть \(x\) г — масса соли в растворе. Масса раствора равна 750 г, а отношение массы соли к массе раствора по условию равно 8 %, то есть \(0{,}08\):
\[\frac{x}{750} = 0{,}08.\]
Умножим обе части уравнения на 750: \(x = 0{,}08 \cdot 750 = 60\) (г) — масса соли.
Ответ: уравнение \(\frac{x}{750} = 0{,}08\), где \(x\) г — масса соли; в 750 г раствора содержится 60 г соли.
• Решите уравнение \(\frac{x - 1}{3} - \frac{x + 1}{2} = 1\), приняв в качестве образца пример 1, и прокомментируйте каждый шаг.
• Прокомментируйте каждый шаг решения уравнения в примере 2.
• Что понимают под словами «концентрация раствора» (фрагмент 2)? Найдите концентрацию раствора соли в банке, содержащей 750 г воды, в которую добавили 15 г соли.
• Составьте уравнение по условию задачи, взяв в качестве образца пример 3: «Имеется раствор соли, концентрация которого равна 8%. Сколько граммов соли содержится в 750 г этого раствора?»
Наименьший общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, равен 6. Умножим на него обе части уравнения — тогда дроби из уравнения исчезнут:
\[6 \cdot \left( \frac{x - 1}{3} - \frac{x + 1}{2} \right) = 6 \cdot 1.\]
Умножим на 6 каждую дробь, стоящую в скобках:
\[\frac{6(x - 1)}{3} - \frac{6(x + 1)}{2} = 6.\]
Число 6 делится и на 3, и на 2, поэтому обе дроби сокращаются:
\[2(x - 1) - 3(x + 1) = 6.\]
Раскроем скобки; перед второй скобкой стоит знак «минус», поэтому знаки обоих слагаемых в ней меняются на противоположные:
\[2x - 2 - 3x - 3 = 6.\]
Приведём подобные слагаемые в левой части, перенесём число \(-5\) в правую часть с противоположным знаком и разделим обе части уравнения на \(-1\):
\[\begin{aligned} &-x - 5 = 6; \\ &-x = 11; \\ &x = -11. \end{aligned}\]
Ответ: \(x = -11\).
Речь идёт об уравнении \(0{,}09y + 0{,}12(10 - y) = 9\), коэффициенты которого — десятичные дроби \(0{,}09\) и \(0{,}12\). Обыкновенными дробями они записываются как \(\frac{9}{100}\) и \(\frac{12}{100}\), поэтому обе части уравнения умножают на 100:
\[100 \cdot 0{,}09y + 100 \cdot 0{,}12(10 - y) = 100 \cdot 9.\]
Каждое произведение вычисляют: \(100 \cdot 0{,}09 = 9\), \(100 \cdot 0{,}12 = 12\), \(100 \cdot 9 = 900\), и десятичные дроби исчезают:
\[9y + 12(10 - y) = 900.\]
Все три числа 9, 12 и 900 делятся на 3, поэтому обе части уравнения делят на 3 — коэффициенты становятся меньше:
\[3y + 4(10 - y) = 300.\]
Раскрывают скобки:
\[3y + 40 - 4y = 300.\]
Приводят подобные слагаемые в левой части и переносят число 40 в правую часть с противоположным знаком:
\[-y = 260.\]
Обе части уравнения делят на \(-1\):
\[y = -260.\]
Ответ: обе части уравнения умножают на 100 и избавляются от десятичных дробей, затем делят обе части на 3, раскрывают скобки, приводят подобные слагаемые, переносят число в правую часть с противоположным знаком и делят обе части на \(-1\); корень уравнения \(y = -260\).
Концентрацией раствора называют отношение массы содержащегося в нём сухого вещества к массе раствора, выраженное в процентах.
Сухое вещество здесь — соль, её масса 15 г. Масса раствора складывается из массы воды и массы соли: \(750 + 15 = 765\) (г) — масса полученного раствора.
Концентрация этого раствора равна
\[\frac{15}{765} \cdot 100\% = \frac{1500}{765}\% = \frac{100}{51}\% \approx 1{,}96\%.\]
Ответ: концентрацией раствора называют отношение массы содержащегося в нём сухого вещества к массе раствора, выраженное в процентах; концентрация раствора соли в банке равна \(\frac{100}{51}\%\), то есть приблизительно \(1{,}96\%\).
Пусть \(x\) г — масса соли, содержащейся в растворе. Масса раствора равна 750 г, а концентрация раствора — это отношение массы соли к массе раствора, выраженное в процентах. По условию она равна 8 %, то есть \(0{,}08\). Поэтому можно записать равенство
\[\frac{x}{750} = 0{,}08.\]
Умножим обе части уравнения на 750: \(x = 0{,}08 \cdot 750 = 60\).
Значит, в 750 г раствора содержится 60 г соли.
Ответ: уравнение \(\frac{x}{750} = 0{,}08\), где \(x\) г — масса соли; в 750 г раствора содержится 60 г соли.
