Страница 47 номер 1.162, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Преобразуйте в дробь выражение:
а) \((x^{-2} - y^{-2}) : (x^{-1} + y^{-1})\);
б) \((m + n)^{-1} \cdot (m^{-1} + n^{-1})\);
в) \((a + b)^{-2} \cdot (a^{-2} - b^{-2})\);
г) \((xy^{-1} - x^{-1}y) : (x - y)\).
а) \(x^{-2} - y^{-2} = \frac{y^{2} - x^{2}}{x^{2}y^{2}}\), \(x^{-1} + y^{-1} = \frac{y + x}{xy}\), поэтому \[(x^{-2} - y^{-2}) : (x^{-1} + y^{-1}) = \frac{y^{2} - x^{2}}{x^{2}y^{2}} \cdot \frac{xy}{y + x} = \frac{(y - x)(y + x) \cdot xy}{x^{2}y^{2}(y + x)} = \frac{y - x}{xy}.\]
б) \((m + n)^{-1} = \frac{1}{m + n}\), \(m^{-1} + n^{-1} = \frac{n + m}{mn}\), поэтому \[(m + n)^{-1} \cdot (m^{-1} + n^{-1}) = \frac{1}{m + n} \cdot \frac{m + n}{mn} = \frac{1}{mn}.\]
в) \((a + b)^{-2} = \frac{1}{(a + b)^{2}}\), \(a^{-2} - b^{-2} = \frac{b^{2} - a^{2}}{a^{2}b^{2}}\), поэтому \[(a + b)^{-2} \cdot (a^{-2} - b^{-2}) = \frac{1}{(a + b)^{2}} \cdot \frac{b^{2} - a^{2}}{a^{2}b^{2}} = \frac{(b - a)(b + a)}{(a + b)^{2}a^{2}b^{2}} = \frac{b - a}{a^{2}b^{2}(a + b)}.\]
г) \(xy^{-1} - x^{-1}y = \frac{x^{2} - y^{2}}{xy}\), поэтому \[(xy^{-1} - x^{-1}y) : (x - y) = \frac{x^{2} - y^{2}}{xy} \cdot \frac{1}{x - y} = \frac{(x - y)(x + y)}{xy(x - y)} = \frac{x + y}{xy}.\]
Ответ: а) \(\frac{y - x}{xy}\); б) \(\frac{1}{mn}\); в) \(\frac{b - a}{a^{2}b^{2}(a + b)}\); г) \(\frac{x + y}{xy}\).
Преобразуйте в дробь выражение:
а) \((x^{-2} - y^{-2}) : (x^{-1} + y^{-1})\);
б) \((m + n)^{-1} \cdot (m^{-1} + n^{-1})\);
в) \((a + b)^{-2} \cdot (a^{-2} - b^{-2})\);
г) \((xy^{-1} - x^{-1}y) : (x - y)\).
Степени с отрицательными показателями запишем дробями, а деление заменим умножением на дробь, обратную делителю.
а) \(x^{-2} - y^{-2} = \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}} = \frac{y^{2} - x^{2}}{x^{2}y^{2}}\) и \(x^{-1} + y^{-1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y + x}{xy}\), поэтому \[\begin{aligned} &(x^{-2} - y^{-2}) : (x^{-1} + y^{-1}) = \frac{y^{2} - x^{2}}{x^{2}y^{2}} \cdot \frac{xy}{y + x} = {} \\ &= \frac{(y - x)(y + x) \cdot xy}{x^{2}y^{2}(y + x)} = \frac{y - x}{xy}. \end{aligned}\]
б) \((m + n)^{-1} = \frac{1}{m + n}\) и \(m^{-1} + n^{-1} = \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{n + m}{mn}\), поэтому \[(m + n)^{-1} \cdot (m^{-1} + n^{-1}) = \frac{1}{m + n} \cdot \frac{m + n}{mn} = \frac{1}{mn}.\]
в) \((a + b)^{-2} = \frac{1}{(a + b)^{2}}\) и \(a^{-2} - b^{-2} = \frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}} = \frac{b^{2} - a^{2}}{a^{2}b^{2}}\), поэтому \[\begin{aligned} &(a + b)^{-2} \cdot (a^{-2} - b^{-2}) = \frac{1}{(a + b)^{2}} \cdot \frac{b^{2} - a^{2}}{a^{2}b^{2}} = {} \\ &= \frac{(b - a)(b + a)}{(a + b)^{2}a^{2}b^{2}} = \frac{b - a}{a^{2}b^{2}(a + b)}. \end{aligned}\]
г) \(xy^{-1} - x^{-1}y = \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x^{2} - y^{2}}{xy}\), поэтому \[\begin{aligned} &(xy^{-1} - x^{-1}y) : (x - y) = \frac{x^{2} - y^{2}}{xy} \cdot \frac{1}{x - y} = {} \\ &= \frac{(x - y)(x + y)}{xy(x - y)} = \frac{x + y}{xy}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{y - x}{xy}\); б) \(\frac{1}{mn}\); в) \(\frac{b - a}{a^{2}b^{2}(a + b)}\); г) \(\frac{x + y}{xy}\).
