Страница 10 номер 1.16, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Выясните, имеет ли смысл выражение \(\frac{x-1+\frac{1}{x}}{x-\frac{1}{x}}\) при \(x=0\); \(x=1\); \(x=-1\); \(x=\frac{1}{2}\). Если имеет, то найдите его значение.
При \(x = 0\) выражение не имеет смысла: в него входит дробь \(\frac{1}{x}\), а на нуль делить нельзя.
При \(x = 1\) знаменатель равен \(1 - \frac{1}{1} = 0\) — выражение не имеет смысла.
При \(x = -1\) знаменатель равен \(-1 - \frac{1}{-1} = -1 + 1 = 0\) — выражение не имеет смысла.
При \(x = \frac{1}{2}\) имеем \(\frac{1}{x} = 1 : \frac{1}{2} = 2\), числитель равен \(\frac{1}{2} - 1 + 2 = 1{,}5\), а знаменатель равен \(\frac{1}{2} - 2 = -1{,}5\):
\[\frac{1{,}5}{-1{,}5} = -1.\]
Ответ: при \(x = 0\), при \(x = 1\) и при \(x = -1\) выражение не имеет смысла; при \(x = \frac{1}{2}\) его значение равно \(-1\).
Выясните, имеет ли смысл выражение \(\frac{x-1+\frac{1}{x}}{x-\frac{1}{x}}\) при \(x=0\); \(x=1\); \(x=-1\); \(x=\frac{1}{2}\). Если имеет, то найдите его значение.
При \(x = 0\) выражение не имеет смысла: в него входит дробь \(\frac{1}{x}\), а на нуль делить нельзя.
При \(x = 1\) числитель равен \(1 - 1 + \frac{1}{1} = 1\), а знаменатель равен \(1 - \frac{1}{1} = 0\). Знаменатель обращается в нуль, поэтому выражение не имеет смысла.
При \(x = -1\) числитель равен \(-1 - 1 + \frac{1}{-1} = -3\), а знаменатель равен \(-1 - \frac{1}{-1} = -1 + 1 = 0\). Знаменатель обращается в нуль, поэтому выражение не имеет смысла.
При \(x = \frac{1}{2}\) имеем \(\frac{1}{x} = 1 : \frac{1}{2} = 2\), поэтому числитель равен \(\frac{1}{2} - 1 + 2 = 1{,}5\), а знаменатель равен \(\frac{1}{2} - 2 = -1{,}5\). Знаменатель нулю не равен, значение выражения равно
\[\frac{1{,}5}{-1{,}5} = -1.\]
Ответ: при \(x = 0\), при \(x = 1\) и при \(x = -1\) выражение не имеет смысла; при \(x = \frac{1}{2}\) его значение равно \(-1\).
