Страница 10 номер 1.15, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
РАССУЖДАЕМ (1.14—1.15)
Подберите, если возможно, такие значения переменных, при которых дробь: 1) не имеет смысла; 2) равна 0:
а) \(\frac{x+y}{x^2+y^2}\);
б) \(\frac{x^2+y^2}{x+y}\);
в) \(\frac{x+y}{x^2-y^2}\).
а) \(\frac{x + y}{x^2 + y^2}\).
1) Квадраты неотрицательны, поэтому \(x^2 + y^2 = 0\) только при \(x = 0\) и \(y = 0\) — дробь не имеет смысла.
2) Числитель \(x + y\) равен нулю при противоположных значениях: при \(x = 1\) и \(y = -1\) знаменатель равен \(1^2 + (-1)^2 = 2\), а дробь равна \(\frac{0}{2} = 0\).
б) \(\frac{x^2 + y^2}{x + y}\).
1) Знаменатель \(x + y\) равен нулю при противоположных значениях — дробь не имеет смысла, например при \(x = 3\) и \(y = -3\).
2) Числитель \(x^2 + y^2\) равен нулю только при \(x = 0\) и \(y = 0\), но тогда и знаменатель равен нулю — дробь не имеет смысла, поэтому таких значений нет.
в) \(\frac{x + y}{x^2 - y^2}\).
1) \(x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)\) равно нулю при равных и при противоположных значениях — дробь не имеет смысла, например при \(x = 2\) и \(y = 2\) или при \(x = 2\) и \(y = -2\).
2) Числитель \(x + y\) равен нулю при противоположных значениях, но тогда и множитель \(x + y\) в знаменателе равен нулю — дробь не имеет смысла, поэтому таких значений нет.
Ответ: а) 1) \(x = 0\) и \(y = 0\); 2) любые противоположные значения, кроме нулевых, например \(x = 1\) и \(y = -1\); б) 1) любые противоположные значения, например \(x = 3\) и \(y = -3\); 2) таких значений нет; в) 1) любые равные или противоположные значения, например \(x = 2\) и \(y = 2\), \(x = 2\) и \(y = -2\); 2) таких значений нет.
РАССУЖДАЕМ (1.14—1.15)
Подберите, если возможно, такие значения переменных, при которых дробь: 1) не имеет смысла; 2) равна 0:
а) \(\frac{x+y}{x^2+y^2}\);
б) \(\frac{x^2+y^2}{x+y}\);
в) \(\frac{x+y}{x^2-y^2}\).
Дробь не имеет смысла, когда её знаменатель обращается в нуль, и равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель нулю не равен.
а) \(\frac{x + y}{x^2 + y^2}\).
1) Квадрат любого числа не бывает отрицательным, поэтому сумма \(x^2 + y^2\) обращается в нуль только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. Дробь не имеет смысла при \(x = 0\) и \(y = 0\).
2) Числитель \(x + y\) равен нулю при противоположных значениях переменных. Например, при \(x = 1\) и \(y = -1\) знаменатель равен \(1^2 + (-1)^2 = 2\), а дробь равна \(\frac{0}{2} = 0\).
б) \(\frac{x^2 + y^2}{x + y}\).
1) Знаменатель \(x + y\) равен нулю при противоположных значениях переменных. Например, при \(x = 3\) и \(y = -3\) дробь не имеет смысла.
2) Числитель \(x^2 + y^2\) равен нулю только при \(x = 0\) и \(y = 0\), но при этих значениях знаменатель \(x + y\) тоже равен нулю и дробь не имеет смысла. Значит, подобрать значения переменных, при которых дробь равна нулю, невозможно.
в) \(\frac{x + y}{x^2 - y^2}\).
1) Разложим знаменатель на множители: \(x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)\). Это произведение равно нулю при равных и при противоположных значениях переменных. Например, при \(x = 2\) и \(y = 2\) или при \(x = 2\) и \(y = -2\) дробь не имеет смысла.
2) Числитель \(x + y\) равен нулю при противоположных значениях переменных, но тогда и множитель \(x + y\) в знаменателе равен нулю, то есть дробь не имеет смысла. Значит, подобрать значения переменных, при которых дробь равна нулю, невозможно.
Ответ: а) 1) \(x = 0\) и \(y = 0\); 2) любые противоположные значения, кроме нулевых, например \(x = 1\) и \(y = -1\); б) 1) любые противоположные значения, например \(x = 3\) и \(y = -3\); 2) таких значений нет; в) 1) любые равные или противоположные значения, например \(x = 2\) и \(y = 2\), \(x = 2\) и \(y = -2\); 2) таких значений нет.
