Страница 47 номер 1.159, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Сократите дробь (1.159—1.161).
Сократите дробь.
а) \(\frac{5^{n+1} \cdot 3^{n-1}}{15^{n}}\);
б) \(\frac{14^{n}}{2^{n-2} \cdot 7^{n+2}}\);
в) \(\frac{12^{n}}{2^{2n+1} \cdot 3^{n-1}}\);
г) \(\frac{2^{2n-1} \cdot 5^{2n+1}}{100^{n}}\).
а) \(15^{n} = 3^{n} \cdot 5^{n}\), поэтому \[\frac{5^{n+1} \cdot 3^{n-1}}{15^{n}} = 5^{n + 1 - n} \cdot 3^{n - 1 - n} = 5 \cdot 3^{-1} = \frac{5}{3}.\]
б) \(14^{n} = 2^{n} \cdot 7^{n}\), поэтому \[\frac{14^{n}}{2^{n-2} \cdot 7^{n+2}} = 2^{n - (n - 2)} \cdot 7^{n - (n + 2)} = 2^{2} \cdot 7^{-2} = \frac{4}{49}.\]
в) \(12^{n} = 2^{2n} \cdot 3^{n}\), поэтому \[\frac{12^{n}}{2^{2n+1} \cdot 3^{n-1}} = 2^{2n - (2n + 1)} \cdot 3^{n - (n - 1)} = 2^{-1} \cdot 3 = \frac{3}{2}.\]
г) \(100^{n} = 2^{2n} \cdot 5^{2n}\), поэтому \[\frac{2^{2n-1} \cdot 5^{2n+1}}{100^{n}} = 2^{2n - 1 - 2n} \cdot 5^{2n + 1 - 2n} = 2^{-1} \cdot 5 = \frac{5}{2}.\]
Ответ: а) \(\frac{5}{3}\); б) \(\frac{4}{49}\); в) \(\frac{3}{2}\); г) \(\frac{5}{2}\).
Сократите дробь (1.159—1.161).
Сократите дробь.
а) \(\frac{5^{n+1} \cdot 3^{n-1}}{15^{n}}\);
б) \(\frac{14^{n}}{2^{n-2} \cdot 7^{n+2}}\);
в) \(\frac{12^{n}}{2^{2n+1} \cdot 3^{n-1}}\);
г) \(\frac{2^{2n-1} \cdot 5^{2n+1}}{100^{n}}\).
а) \(15^{n} = (3 \cdot 5)^{n} = 3^{n} \cdot 5^{n}\), поэтому \[\begin{aligned} &\frac{5^{n+1} \cdot 3^{n-1}}{15^{n}} = \frac{5^{n+1} \cdot 3^{n-1}}{5^{n} \cdot 3^{n}} = {} \\ &= 5^{n + 1 - n} \cdot 3^{n - 1 - n} = 5 \cdot 3^{-1} = \frac{5}{3}. \end{aligned}\]
б) \(14^{n} = (2 \cdot 7)^{n} = 2^{n} \cdot 7^{n}\), поэтому \[\begin{aligned} &\frac{14^{n}}{2^{n-2} \cdot 7^{n+2}} = \frac{2^{n} \cdot 7^{n}}{2^{n-2} \cdot 7^{n+2}} = {} \\ &= 2^{n - (n - 2)} \cdot 7^{n - (n + 2)} = 2^{2} \cdot 7^{-2} = \frac{4}{49}. \end{aligned}\]
в) \(12^{n} = (2^{2} \cdot 3)^{n} = 2^{2n} \cdot 3^{n}\), поэтому \[\begin{aligned} &\frac{12^{n}}{2^{2n+1} \cdot 3^{n-1}} = \frac{2^{2n} \cdot 3^{n}}{2^{2n+1} \cdot 3^{n-1}} = {} \\ &= 2^{2n - (2n + 1)} \cdot 3^{n - (n - 1)} = 2^{-1} \cdot 3 = \frac{3}{2}. \end{aligned}\]
г) \(100^{n} = (2^{2} \cdot 5^{2})^{n} = 2^{2n} \cdot 5^{2n}\), поэтому \[\begin{aligned} &\frac{2^{2n-1} \cdot 5^{2n+1}}{100^{n}} = \frac{2^{2n-1} \cdot 5^{2n+1}}{2^{2n} \cdot 5^{2n}} = {} \\ &= 2^{2n - 1 - 2n} \cdot 5^{2n + 1 - 2n} = 2^{-1} \cdot 5 = \frac{5}{2}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{5}{3}\); б) \(\frac{4}{49}\); в) \(\frac{3}{2}\); г) \(\frac{5}{2}\).
