Страница 47 номер 1.157, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Найдите значение выражения:
а) \(3^{10} \cdot 81^{3} \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{10}\);
б) \(\left(\frac{1}{5}\right)^{-25} \cdot 25^{-6} \cdot 125^{-4}\);
в) \(\frac{6^{-10}}{81^{-2} \cdot 32^{-2}}\);
г) \(\frac{20^{-4} \cdot 15^{-3}}{30^{-7}}\).
а) \(81 = 3^{4}\), \(\frac{1}{9} = 3^{-2}\), поэтому \[3^{10} \cdot 81^{3} \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{10} = 3^{10} \cdot 3^{12} \cdot 3^{-20} = 3^{10 + 12 - 20} = 3^{2} = 9.\]
б) \(\frac{1}{5} = 5^{-1}\), \(25 = 5^{2}\), \(125 = 5^{3}\), поэтому \[\left(\frac{1}{5}\right)^{-25} \cdot 25^{-6} \cdot 125^{-4} = 5^{25} \cdot 5^{-12} \cdot 5^{-12} = 5^{25 - 12 - 12} = 5^{1} = 5.\]
в) \(6 = 2 \cdot 3\), \(81 = 3^{4}\), \(32 = 2^{5}\), поэтому \[\frac{6^{-10}}{81^{-2} \cdot 32^{-2}} = \frac{2^{-10} \cdot 3^{-10}}{3^{-8} \cdot 2^{-10}} = 3^{-10 + 8} = 3^{-2} = \frac{1}{9}.\]
г) \(20 = 2^{2} \cdot 5\), \(15 = 3 \cdot 5\), \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\), поэтому \[\frac{20^{-4} \cdot 15^{-3}}{30^{-7}} = \frac{2^{-8} \cdot 3^{-3} \cdot 5^{-7}}{2^{-7} \cdot 3^{-7} \cdot 5^{-7}} = 2^{-1} \cdot 3^{4} = \frac{81}{2} = 40{,}5.\]
Ответ: а) 9; б) 5; в) \(\frac{1}{9}\); г) \(40{,}5\).
Найдите значение выражения:
а) \(3^{10} \cdot 81^{3} \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{10}\);
б) \(\left(\frac{1}{5}\right)^{-25} \cdot 25^{-6} \cdot 125^{-4}\);
в) \(\frac{6^{-10}}{81^{-2} \cdot 32^{-2}}\);
г) \(\frac{20^{-4} \cdot 15^{-3}}{30^{-7}}\).
а) \(81 = 3^{4}\) и \(\frac{1}{9} = 3^{-2}\), поэтому \[3^{10} \cdot 81^{3} \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{10} = 3^{10} \cdot 3^{12} \cdot 3^{-20} = 3^{10 + 12 - 20} = 3^{2} = 9.\]
б) \(\frac{1}{5} = 5^{-1}\), \(25 = 5^{2}\) и \(125 = 5^{3}\), поэтому \[\left(\frac{1}{5}\right)^{-25} \cdot 25^{-6} \cdot 125^{-4} = 5^{25} \cdot 5^{-12} \cdot 5^{-12} = 5^{25 - 12 - 12} = 5^{1} = 5.\]
в) \(6 = 2 \cdot 3\), \(81 = 3^{4}\) и \(32 = 2^{5}\), поэтому \[\frac{6^{-10}}{81^{-2} \cdot 32^{-2}} = \frac{2^{-10} \cdot 3^{-10}}{3^{-8} \cdot 2^{-10}} = 3^{-10 + 8} = 3^{-2} = \frac{1}{9}.\]
г) \(20 = 2^{2} \cdot 5\), \(15 = 3 \cdot 5\) и \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\), поэтому \[\begin{aligned} &\frac{20^{-4} \cdot 15^{-3}}{30^{-7}} = \frac{2^{-8} \cdot 5^{-4} \cdot 3^{-3} \cdot 5^{-3}}{2^{-7} \cdot 3^{-7} \cdot 5^{-7}} = {} \\ &= \frac{2^{-8} \cdot 3^{-3} \cdot 5^{-7}}{2^{-7} \cdot 3^{-7} \cdot 5^{-7}} = 2^{-1} \cdot 3^{4} = \frac{81}{2} = 40{,}5. \end{aligned}\]
Ответ: а) 9; б) 5; в) \(\frac{1}{9}\); г) \(40{,}5\).
