Страница 41 номер 1.136, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Расположите в порядке возрастания числа:
а) \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-4}\); \(\frac{2}{3}\); \(\left(\frac{3}{2}\right)^{-4}\); \(\left(\frac{3}{2}\right)^{0}\);
б) \((2{,}5)^{-3}\); \(2{,}5\); \((2{,}5)^{-5}\); \(2{,}5^{0}\).
а) \[\left(\frac{2}{3}\right)^{-4} = \left(\frac{3}{2}\right)^{4} = \frac{81}{16}, \qquad \left(\frac{3}{2}\right)^{-4} = \left(\frac{2}{3}\right)^{4} = \frac{16}{81}.\]
Кроме того, \(\left(\frac{3}{2}\right)^{0} = 1\).
Дробь \(\frac{16}{81}\) меньше дроби \(\frac{2}{3} = \frac{54}{81}\), дробь \(\frac{2}{3}\) меньше 1, а \(\frac{81}{16}\) больше 1, значит, \(\frac{16}{81} < \frac{2}{3} < 1 < \frac{81}{16}\).
В порядке возрастания: \(\left(\frac{3}{2}\right)^{-4}\); \(\frac{2}{3}\); \(\left(\frac{3}{2}\right)^{0}\); \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-4}\).
б) \((2{,}5)^{-3} = \frac{1}{2{,}5^{3}}\) и \((2{,}5)^{-5} = \frac{1}{2{,}5^{5}}\) — дроби с числителем 1, и меньше та из них, у которой знаменатель больше.
Число \(2{,}5\) больше 1, поэтому \(2{,}5^{3} > 1\), а \(2{,}5^{5} = 2{,}5^{3} \cdot 2{,}5^{2}\) ещё больше, значит, \(\frac{1}{2{,}5^{5}} < \frac{1}{2{,}5^{3}} < 1\). Кроме того, \(2{,}5^{0} = 1\), а само число \(2{,}5\) больше 1.
В порядке возрастания: \((2{,}5)^{-5}\); \((2{,}5)^{-3}\); \(2{,}5^{0}\); \(2{,}5\).
Ответ: а) \(\left(\frac{3}{2}\right)^{-4}\); \(\frac{2}{3}\); \(\left(\frac{3}{2}\right)^{0}\); \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-4}\); б) \((2{,}5)^{-5}\); \((2{,}5)^{-3}\); \(2{,}5^{0}\); \(2{,}5\).
Расположите в порядке возрастания числа:
а) \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-4}\); \(\frac{2}{3}\); \(\left(\frac{3}{2}\right)^{-4}\); \(\left(\frac{3}{2}\right)^{0}\);
б) \((2{,}5)^{-3}\); \(2{,}5\); \((2{,}5)^{-5}\); \(2{,}5^{0}\).
а) Запишем первые два числа проще, пользуясь свойством \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}\):
\[\left(\frac{2}{3}\right)^{-4} = \left(\frac{3}{2}\right)^{4} = \frac{81}{16}, \qquad \left(\frac{3}{2}\right)^{-4} = \left(\frac{2}{3}\right)^{4} = \frac{16}{81}.\]
Кроме того, \(\left(\frac{3}{2}\right)^{0} = 1\).
Дробь \(\frac{16}{81}\) меньше дроби \(\frac{2}{3} = \frac{54}{81}\), дробь \(\frac{2}{3}\) меньше 1, а \(\frac{81}{16}\) больше 1, потому что \(81 > 16\). Значит, \(\frac{16}{81} < \frac{2}{3} < 1 < \frac{81}{16}\).
В порядке возрастания: \(\left(\frac{3}{2}\right)^{-4}\); \(\frac{2}{3}\); \(\left(\frac{3}{2}\right)^{0}\); \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-4}\).
б) По определению степени с отрицательным показателем \((2{,}5)^{-3} = \frac{1}{2{,}5^{3}}\) и \((2{,}5)^{-5} = \frac{1}{2{,}5^{5}}\) — это дроби с числителем 1.
Число \(2{,}5\) больше 1, поэтому \(2{,}5^{3} > 1\), а \(2{,}5^{5} = 2{,}5^{3} \cdot 2{,}5^{2}\) ещё больше. Из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та, у которой знаменатель больше, значит, \(\frac{1}{2{,}5^{5}} < \frac{1}{2{,}5^{3}} < 1\). Кроме того, \(2{,}5^{0} = 1\), а само число \(2{,}5\) больше 1.
В порядке возрастания: \((2{,}5)^{-5}\); \((2{,}5)^{-3}\); \(2{,}5^{0}\); \(2{,}5\).
Ответ: а) \(\left(\frac{3}{2}\right)^{-4}\); \(\frac{2}{3}\); \(\left(\frac{3}{2}\right)^{0}\); \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-4}\); б) \((2{,}5)^{-5}\); \((2{,}5)^{-3}\); \(2{,}5^{0}\); \(2{,}5\).
