Страница 41 номер 1.134, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
ДОКАЗЫВАЕМ
Докажите, что:
а) \(\left(\frac{8}{9}\right)^{-5} = \left(\frac{9}{8}\right)^{5}\);
б) \(\left(\frac{3}{4}\right)^{-10} = \left(\frac{4}{3}\right)^{10}\);
в) \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}\).
а) \[\begin{aligned} &\left(\frac{8}{9}\right)^{-5} = \frac{1}{\left(\frac{8}{9}\right)^{5}} = {} \\ &= \frac{1}{\frac{8^{5}}{9^{5}}} = \frac{9^{5}}{8^{5}} = \left(\frac{9}{8}\right)^{5}. \end{aligned}\]
б) \[\begin{aligned} &\left(\frac{3}{4}\right)^{-10} = \frac{1}{\left(\frac{3}{4}\right)^{10}} = {} \\ &= \frac{1}{\frac{3^{10}}{4^{10}}} = \frac{4^{10}}{3^{10}} = \left(\frac{4}{3}\right)^{10}. \end{aligned}\]
в) При \(a \ne 0\) и \(b \ne 0\):
\[\begin{aligned} &\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^{n}} = {} \\ &= \frac{1}{\frac{a^{n}}{b^{n}}} = \frac{b^{n}}{a^{n}} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}. \end{aligned}\]
Ответ: все три равенства доказаны; степень дроби с отрицательным показателем равна степени обратной дроби с противоположным показателем: \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}\) при \(a \ne 0\) и \(b \ne 0\).
ДОКАЗЫВАЕМ
Докажите, что:
а) \(\left(\frac{8}{9}\right)^{-5} = \left(\frac{9}{8}\right)^{5}\);
б) \(\left(\frac{3}{4}\right)^{-10} = \left(\frac{4}{3}\right)^{10}\);
в) \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}\).
Пользуемся определением степени с отрицательным показателем \(a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}\), правилом возведения дроби в степень \(\left(\frac{a}{b}\right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}\) и тем, что единица, делённая на дробь, равна дроби, обратной ей.
а) \[\begin{aligned} &\left(\frac{8}{9}\right)^{-5} = \frac{1}{\left(\frac{8}{9}\right)^{5}} = {} \\ &= \frac{1}{\frac{8^{5}}{9^{5}}} = \frac{9^{5}}{8^{5}} = \left(\frac{9}{8}\right)^{5}. \end{aligned}\]
б) \[\begin{aligned} &\left(\frac{3}{4}\right)^{-10} = \frac{1}{\left(\frac{3}{4}\right)^{10}} = {} \\ &= \frac{1}{\frac{3^{10}}{4^{10}}} = \frac{4^{10}}{3^{10}} = \left(\frac{4}{3}\right)^{10}. \end{aligned}\]
в) Те же преобразования выполняются и с буквами при \(a \ne 0\) и \(b \ne 0\):
\[\begin{aligned} &\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^{n}} = {} \\ &= \frac{1}{\frac{a^{n}}{b^{n}}} = \frac{b^{n}}{a^{n}} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}. \end{aligned}\]
Ответ: все три равенства доказаны; степень дроби с отрицательным показателем равна степени обратной дроби с противоположным показателем: \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}\) при \(a \ne 0\) и \(b \ne 0\).
