Страница 10 номер 1.12, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Упростите дробь и найдите её значение при указанных значениях переменных:
а) \(\frac{x^2-xy+y^2-(x-y)^2}{x+y}\) при \(x=0{,}3\) и \(y=0{,}5\);
б) \(\frac{m-4}{(m+n)^2-(m-n)^2}\) при \(m=\frac{2}{3}\) и \(n=-\frac{3}{4}\);
в) \(\frac{(a+b)^2-4ab}{a+b}\) при \(a=0{,}74\) и \(b=-0{,}26\);
г) \(\frac{cd}{2(c-d)(c+d)-(c-d)^2+4d^2}\) при \(c=-1\) и \(d=11\).
а) Числитель: \(x^2 - xy + y^2 - (x - y)^2 = x^2 - xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2 = xy\), значит, дробь равна \(\frac{xy}{x + y}\).
При \(x = 0{,}3\) и \(y = 0{,}5\):
\[\frac{0{,}3 \cdot 0{,}5}{0{,}3 + 0{,}5} = \frac{0{,}15}{0{,}8} = \frac{15}{80} = \frac{3}{16}.\]
б) Знаменатель: \((m + n)^2 - (m - n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 - m^2 + 2mn - n^2 = 4mn\), значит, дробь равна \(\frac{m - 4}{4mn}\).
При \(m = \frac{2}{3}\) и \(n = -\frac{3}{4}\) числитель равен \(\frac{2}{3} - 4 = -\frac{10}{3}\), а знаменатель равен \(4 \cdot \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -2\); частное отрицательных чисел положительно:
\[-\frac{10}{3} : (-2) = \frac{10}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}.\]
в) Числитель: \((a + b)^2 - 4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\), значит, дробь равна \(\frac{(a - b)^2}{a + b}\).
При \(a = 0{,}74\) и \(b = -0{,}26\) числитель равен \((0{,}74 - (-0{,}26))^2 = 1^2 = 1\), а знаменатель равен \(0{,}74 + (-0{,}26) = 0{,}48\):
\[\frac{1}{0{,}48} = \frac{100}{48} = \frac{25}{12} = 2\frac{1}{12}.\]
г) Знаменатель:
\[\begin{aligned} &2(c - d)(c + d) - (c - d)^2 + 4d^2 = {} \\ &= 2c^2 - 2d^2 - c^2 + 2cd - d^2 + 4d^2 = {} \\ &= c^2 + 2cd + d^2 = (c + d)^2. \end{aligned}\]
Дробь равна \(\frac{cd}{(c + d)^2}\).
При \(c = -1\) и \(d = 11\) числитель равен \(-1 \cdot 11 = -11\), а знаменатель равен \((-1 + 11)^2 = 10^2 = 100\):
\[\frac{-11}{100} = -0{,}11.\]
Ответ: а) \(\frac{xy}{x + y}\), значение равно \(\frac{3}{16}\); б) \(\frac{m - 4}{4mn}\), значение равно \(1\frac{2}{3}\); в) \(\frac{(a - b)^2}{a + b}\), значение равно \(2\frac{1}{12}\); г) \(\frac{cd}{(c + d)^2}\), значение равно \(-0{,}11\).
Упростите дробь и найдите её значение при указанных значениях переменных:
а) \(\frac{x^2-xy+y^2-(x-y)^2}{x+y}\) при \(x=0{,}3\) и \(y=0{,}5\);
б) \(\frac{m-4}{(m+n)^2-(m-n)^2}\) при \(m=\frac{2}{3}\) и \(n=-\frac{3}{4}\);
в) \(\frac{(a+b)^2-4ab}{a+b}\) при \(a=0{,}74\) и \(b=-0{,}26\);
г) \(\frac{cd}{2(c-d)(c+d)-(c-d)^2+4d^2}\) при \(c=-1\) и \(d=11\).
а) Упростим числитель дроби:
\[x^2 - xy + y^2 - (x - y)^2 = x^2 - xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2 = xy.\]
Значит, \(\frac{x^2 - xy + y^2 - (x - y)^2}{x + y} = \frac{xy}{x + y}\).
При \(x = 0{,}3\) и \(y = 0{,}5\) значение дроби равно
\[\frac{0{,}3 \cdot 0{,}5}{0{,}3 + 0{,}5} = \frac{0{,}15}{0{,}8} = \frac{15}{80} = \frac{3}{16}.\]
б) Упростим знаменатель дроби:
\[(m + n)^2 - (m - n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 - m^2 + 2mn - n^2 = 4mn.\]
Значит, \(\frac{m - 4}{(m + n)^2 - (m - n)^2} = \frac{m - 4}{4mn}\).
При \(m = \frac{2}{3}\) и \(n = -\frac{3}{4}\) числитель равен \(\frac{2}{3} - 4 = -\frac{10}{3}\), а знаменатель равен \(4 \cdot \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -2\). Значение дроби равно частному этих чисел, а частное двух отрицательных чисел положительно:
\[-\frac{10}{3} : (-2) = \frac{10}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}.\]
в) Упростим числитель дроби:
\[(a + b)^2 - 4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2.\]
Значит, \(\frac{(a + b)^2 - 4ab}{a + b} = \frac{(a - b)^2}{a + b}\).
При \(a = 0{,}74\) и \(b = -0{,}26\) числитель равен \((0{,}74 - (-0{,}26))^2 = 1^2 = 1\), а знаменатель равен \(0{,}74 + (-0{,}26) = 0{,}48\). Значение дроби равно
\[\frac{1}{0{,}48} = \frac{100}{48} = \frac{25}{12} = 2\frac{1}{12}.\]
г) Упростим знаменатель дроби:
\[\begin{aligned} &2(c - d)(c + d) - (c - d)^2 + 4d^2 = {} \\ &= 2c^2 - 2d^2 - c^2 + 2cd - d^2 + 4d^2 = {} \\ &= c^2 + 2cd + d^2 = (c + d)^2. \end{aligned}\]
Значит, \(\frac{cd}{2(c - d)(c + d) - (c - d)^2 + 4d^2} = \frac{cd}{(c + d)^2}\).
При \(c = -1\) и \(d = 11\) числитель равен \(-1 \cdot 11 = -11\), а знаменатель равен \((-1 + 11)^2 = 10^2 = 100\). Значение дроби равно
\[\frac{-11}{100} = -0{,}11.\]
Ответ: а) \(\frac{xy}{x + y}\), значение равно \(\frac{3}{16}\); б) \(\frac{m - 4}{4mn}\), значение равно \(1\frac{2}{3}\); в) \(\frac{(a - b)^2}{a + b}\), значение равно \(2\frac{1}{12}\); г) \(\frac{cd}{(c + d)^2}\), значение равно \(-0{,}11\).
