Страница 38 номер 1.118, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
ДОКАЗЫВАЕМ
Докажите, что:
а) \(\frac{1}{2^{-3}} = 2^{3}\);
б) \(\frac{1}{a^{-4}} = a^{4}\);
в) \(\frac{a}{b^{-2}} = ab^{2}\).
а) \(2^{-3} = \frac{1}{2^{3}}\), поэтому \(\frac{1}{2^{-3}} = 1 : \frac{1}{2^{3}} = 1 \cdot 2^{3} = 2^{3}\).
б) При \(a \ne 0\) имеем \(a^{-4} = \frac{1}{a^{4}}\), поэтому \(\frac{1}{a^{-4}} = 1 : \frac{1}{a^{4}} = 1 \cdot a^{4} = a^{4}\).
в) При \(b \ne 0\) имеем \(b^{-2} = \frac{1}{b^{2}}\), поэтому \(\frac{a}{b^{-2}} = a : \frac{1}{b^{2}} = a \cdot b^{2} = ab^{2}\).
Ответ: все три равенства доказаны: деление на степень с отрицательным показателем сводится к делению на дробь \(\frac{1}{a^{n}}\), а такое деление даёт умножение на \(a^{n}\), откуда \(\frac{1}{2^{-3}} = 2^{3}\), \(\frac{1}{a^{-4}} = a^{4}\) и \(\frac{a}{b^{-2}} = ab^{2}\).
ДОКАЗЫВАЕМ
Докажите, что:
а) \(\frac{1}{2^{-3}} = 2^{3}\);
б) \(\frac{1}{a^{-4}} = a^{4}\);
в) \(\frac{a}{b^{-2}} = ab^{2}\).
Степень с отрицательным показателем по определению равна дроби с числителем 1: \(a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}\), где \(a \ne 0\). Делить на дробь — значит умножать на дробь, обратную делителю.
а) Так как \(2^{-3} = \frac{1}{2^{3}}\), то \(\frac{1}{2^{-3}} = 1 : \frac{1}{2^{3}} = 1 \cdot 2^{3} = 2^{3}\).
б) При \(a \ne 0\) выполняется равенство \(a^{-4} = \frac{1}{a^{4}}\), поэтому \(\frac{1}{a^{-4}} = 1 : \frac{1}{a^{4}} = 1 \cdot a^{4} = a^{4}\).
в) При \(b \ne 0\) выполняется равенство \(b^{-2} = \frac{1}{b^{2}}\), поэтому \(\frac{a}{b^{-2}} = a : \frac{1}{b^{2}} = a \cdot b^{2} = ab^{2}\).
Ответ: все три равенства доказаны: деление на степень с отрицательным показателем сводится к делению на дробь \(\frac{1}{a^{n}}\), а такое деление даёт умножение на \(a^{n}\), откуда \(\frac{1}{2^{-3}} = 2^{3}\), \(\frac{1}{a^{-4}} = a^{4}\) и \(\frac{a}{b^{-2}} = ab^{2}\).
