Страница 38 номер 1.116, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ (1.115—1.116)
Заполните таблицу. Как при заполнении второй строки можно использовать результаты первой?
[таблица из трёх строк: в первой строке значения \(x\) — \(-6\), \(-5\), \(-4\), \(-3\), \(-2\), \(-1\), 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6; вторая строка озаглавлена \(2^{x}\), её ячейки пустые; третья строка озаглавлена \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\), её ячейки тоже пустые]
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -6 & -5 & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 \\ \hline 2^{x} & \frac{1}{64} & \frac{1}{32} & \frac{1}{16} & \frac{1}{8} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & 1 \\ \hline \left(\frac{1}{2}\right)^{x} & 64 & 32 & 16 & 8 & 4 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}\]
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 2^{x} & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 \\ \hline \left(\frac{1}{2}\right)^{x} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{8} & \frac{1}{16} & \frac{1}{32} & \frac{1}{64} \\ \hline \end{array}\]
В каждом столбце числа \(2^{x}\) и \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) взаимно обратны: при натуральном \(x\) имеем \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = \frac{1^{x}}{2^{x}} = \frac{1}{2^{x}}\), при \(x = 0\) обе степени равны 1, а при \(x = -n\) получаем \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-n} = \frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^{n}} = 2^{n}\) и \(\frac{1}{2^{-n}} = 2^{n}\).
Поэтому строку \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) заполняют, заменяя каждое число строки \(2^{x}\) обратным ему, и получаются те же числа в обратном порядке.
Ответ: при \(x\) от \(-6\) до 6 степень \(2^{x}\) принимает значения \(\frac{1}{64}\); \(\frac{1}{32}\); \(\frac{1}{16}\); \(\frac{1}{8}\); \(\frac{1}{4}\); \(\frac{1}{2}\); 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64, а степень \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) — те же числа в обратном порядке: 64; 32; 16; 8; 4; 2; 1; \(\frac{1}{2}\); \(\frac{1}{4}\); \(\frac{1}{8}\); \(\frac{1}{16}\); \(\frac{1}{32}\); \(\frac{1}{64}\); строку \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) заполняют, заменяя каждое число строки \(2^{x}\) обратным ему.
АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ (1.115—1.116)
Заполните таблицу. Как при заполнении второй строки можно использовать результаты первой?
[таблица из трёх строк: в первой строке значения \(x\) — \(-6\), \(-5\), \(-4\), \(-3\), \(-2\), \(-1\), 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6; вторая строка озаглавлена \(2^{x}\), её ячейки пустые; третья строка озаглавлена \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\), её ячейки тоже пустые]
Степень с отрицательным показателем находим по определению: \(2^{-n} = \frac{1}{2^{n}}\); кроме того, \(2^{0} = 1\) и \(\left(\frac{1}{2}\right)^{0} = 1\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -6 & -5 & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 \\ \hline 2^{x} & \frac{1}{64} & \frac{1}{32} & \frac{1}{16} & \frac{1}{8} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & 1 \\ \hline \left(\frac{1}{2}\right)^{x} & 64 & 32 & 16 & 8 & 4 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}\]
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 2^{x} & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 \\ \hline \left(\frac{1}{2}\right)^{x} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{8} & \frac{1}{16} & \frac{1}{32} & \frac{1}{64} \\ \hline \end{array}\]
Значения в строке \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) можно не вычислять заново. При натуральном \(x\) имеем \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = \frac{1^{x}}{2^{x}} = \frac{1}{2^{x}}\); при \(x = 0\) обе степени равны 1; при отрицательном показателе \(x = -n\) получаем \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-n} = \frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^{n}} = 2^{n}\), а \(\frac{1}{2^{-n}} = 2^{n}\) — снова то же число.
Значит, в каждом столбце числа \(2^{x}\) и \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) взаимно обратны, и строку \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) заполняют, заменяя каждое число строки \(2^{x}\) обратным ему. При этом получаются те же числа, что и в строке \(2^{x}\), только в обратном порядке.
Ответ: при \(x\) от \(-6\) до 6 степень \(2^{x}\) принимает значения \(\frac{1}{64}\); \(\frac{1}{32}\); \(\frac{1}{16}\); \(\frac{1}{8}\); \(\frac{1}{4}\); \(\frac{1}{2}\); 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64, а степень \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) — те же числа в обратном порядке: 64; 32; 16; 8; 4; 2; 1; \(\frac{1}{2}\); \(\frac{1}{4}\); \(\frac{1}{8}\); \(\frac{1}{16}\); \(\frac{1}{32}\); \(\frac{1}{64}\); строку \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) заполняют, заменяя каждое число строки \(2^{x}\) обратным ему.
