Страница 38 номер 1.115, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ (1.115—1.116)
Представьте члены последовательности в виде степеней с одним и тем же натуральным основанием. Запишите три следующих члена последовательности. Какое число будет стоять в этой последовательности на 100-м месте? на месте с номером \(n\)?
а) \(\frac{1}{2}\); \(\frac{1}{4}\); \(\frac{1}{8}\); \(\frac{1}{16}\); …;
б) 1; \(\frac{1}{2}\); \(\frac{1}{4}\); \(\frac{1}{8}\); …;
в) \(\frac{1}{3}\); \(\frac{1}{9}\); \(\frac{1}{27}\); …;
г) 3; 1; \(\frac{1}{3}\); \(\frac{1}{9}\); … .
Каждый следующий член получается делением предыдущего на одно и то же число, и первый член сам является степенью этого числа, поэтому все члены — степени одного основания.
а) Знаменатели — степени двойки:
\[\frac{1}{2} = 2^{-1}; \qquad \frac{1}{4} = 2^{-2}; \qquad \frac{1}{8} = 2^{-3}; \qquad \frac{1}{16} = 2^{-4}.\]
Показатель равен номеру места со знаком минус: следующие три члена \(2^{-5} = \frac{1}{32}\), \(2^{-6} = \frac{1}{64}\), \(2^{-7} = \frac{1}{128}\); на месте с номером \(n\) стоит \(2^{-n}\), на 100-м — \(2^{-100}\).
б) Основание то же:
\[1 = 2^{0}; \qquad \frac{1}{2} = 2^{-1}; \qquad \frac{1}{4} = 2^{-2}; \qquad \frac{1}{8} = 2^{-3}.\]
Показатель равен \(1 - n\): следующие три члена \(2^{-4} = \frac{1}{16}\), \(2^{-5} = \frac{1}{32}\), \(2^{-6} = \frac{1}{64}\); на месте с номером \(n\) стоит \(2^{1-n}\), на 100-м — \(2^{1-100} = 2^{-99}\).
в) Знаменатели — степени тройки:
\[\frac{1}{3} = 3^{-1}; \qquad \frac{1}{9} = 3^{-2}; \qquad \frac{1}{27} = 3^{-3}.\]
Показатель равен номеру места со знаком минус: следующие три члена \(3^{-4} = \frac{1}{81}\), \(3^{-5} = \frac{1}{243}\), \(3^{-6} = \frac{1}{729}\); на месте с номером \(n\) стоит \(3^{-n}\), на 100-м — \(3^{-100}\).
г) Основание то же:
\[3 = 3^{1}; \qquad 1 = 3^{0}; \qquad \frac{1}{3} = 3^{-1}; \qquad \frac{1}{9} = 3^{-2}.\]
Показатель равен \(2 - n\): следующие три члена \(3^{-3} = \frac{1}{27}\), \(3^{-4} = \frac{1}{81}\), \(3^{-5} = \frac{1}{243}\); на месте с номером \(n\) стоит \(3^{2-n}\), на 100-м — \(3^{2-100} = 3^{-98}\).
Ответ: а) \(2^{-1}\); \(2^{-2}\); \(2^{-3}\); \(2^{-4}\); следующие три члена — \(2^{-5}\), \(2^{-6}\), \(2^{-7}\); на 100-м месте \(2^{-100}\), на месте с номером \(n\) — \(2^{-n}\); б) \(2^{0}\); \(2^{-1}\); \(2^{-2}\); \(2^{-3}\); следующие три члена — \(2^{-4}\), \(2^{-5}\), \(2^{-6}\); на 100-м месте \(2^{-99}\), на месте с номером \(n\) — \(2^{1-n}\); в) \(3^{-1}\); \(3^{-2}\); \(3^{-3}\); следующие три члена — \(3^{-4}\), \(3^{-5}\), \(3^{-6}\); на 100-м месте \(3^{-100}\), на месте с номером \(n\) — \(3^{-n}\); г) \(3^{1}\); \(3^{0}\); \(3^{-1}\); \(3^{-2}\); следующие три члена — \(3^{-3}\), \(3^{-4}\), \(3^{-5}\); на 100-м месте \(3^{-98}\), на месте с номером \(n\) — \(3^{2-n}\).
АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ (1.115—1.116)
Представьте члены последовательности в виде степеней с одним и тем же натуральным основанием. Запишите три следующих члена последовательности. Какое число будет стоять в этой последовательности на 100-м месте? на месте с номером \(n\)?
а) \(\frac{1}{2}\); \(\frac{1}{4}\); \(\frac{1}{8}\); \(\frac{1}{16}\); …;
б) 1; \(\frac{1}{2}\); \(\frac{1}{4}\); \(\frac{1}{8}\); …;
в) \(\frac{1}{3}\); \(\frac{1}{9}\); \(\frac{1}{27}\); …;
г) 3; 1; \(\frac{1}{3}\); \(\frac{1}{9}\); … .
Каждый следующий член получается делением предыдущего на одно и то же число, и первый член сам является степенью этого числа, поэтому все члены — степени одного основания. Дробь с числителем 1 записываем степенью с отрицательным показателем по определению \(\frac{1}{a^{n}} = a^{-n}\), а единицу — нулевой степенью.
а) Знаменатели 2, 4, 8, 16 — степени двойки:
\[\frac{1}{2} = 2^{-1}; \qquad \frac{1}{4} = 2^{-2}; \qquad \frac{1}{8} = 2^{-3}; \qquad \frac{1}{16} = 2^{-4}.\]
Показатель равен номеру места, взятому со знаком минус. Три следующих члена: \(2^{-5} = \frac{1}{32}\), \(2^{-6} = \frac{1}{64}\), \(2^{-7} = \frac{1}{128}\). На месте с номером \(n\) стоит \(2^{-n}\), а на 100-м месте — \(2^{-100}\).
б) Основание то же:
\[1 = 2^{0}; \qquad \frac{1}{2} = 2^{-1}; \qquad \frac{1}{4} = 2^{-2}; \qquad \frac{1}{8} = 2^{-3}.\]
Показатель равен \(1 - n\): у первого члена он равен 0, у второго \(-1\), у третьего \(-2\). Три следующих члена: \(2^{-4} = \frac{1}{16}\), \(2^{-5} = \frac{1}{32}\), \(2^{-6} = \frac{1}{64}\). На месте с номером \(n\) стоит \(2^{1-n}\), а на 100-м месте — \(2^{1-100} = 2^{-99}\).
в) Знаменатели 3, 9, 27 — степени тройки:
\[\frac{1}{3} = 3^{-1}; \qquad \frac{1}{9} = 3^{-2}; \qquad \frac{1}{27} = 3^{-3}.\]
Показатель равен номеру места, взятому со знаком минус. Три следующих члена: \(3^{-4} = \frac{1}{81}\), \(3^{-5} = \frac{1}{243}\), \(3^{-6} = \frac{1}{729}\). На месте с номером \(n\) стоит \(3^{-n}\), а на 100-м месте — \(3^{-100}\).
г) Основание то же:
\[3 = 3^{1}; \qquad 1 = 3^{0}; \qquad \frac{1}{3} = 3^{-1}; \qquad \frac{1}{9} = 3^{-2}.\]
Показатель равен \(2 - n\): у первого члена он равен 1, у второго 0, у третьего \(-1\). Три следующих члена: \(3^{-3} = \frac{1}{27}\), \(3^{-4} = \frac{1}{81}\), \(3^{-5} = \frac{1}{243}\). На месте с номером \(n\) стоит \(3^{2-n}\), а на 100-м месте — \(3^{2-100} = 3^{-98}\).
Ответ: а) \(2^{-1}\); \(2^{-2}\); \(2^{-3}\); \(2^{-4}\); следующие три члена — \(2^{-5}\), \(2^{-6}\), \(2^{-7}\); на 100-м месте \(2^{-100}\), на месте с номером \(n\) — \(2^{-n}\); б) \(2^{0}\); \(2^{-1}\); \(2^{-2}\); \(2^{-3}\); следующие три члена — \(2^{-4}\), \(2^{-5}\), \(2^{-6}\); на 100-м месте \(2^{-99}\), на месте с номером \(n\) — \(2^{1-n}\); в) \(3^{-1}\); \(3^{-2}\); \(3^{-3}\); следующие три члена — \(3^{-4}\), \(3^{-5}\), \(3^{-6}\); на 100-м месте \(3^{-100}\), на месте с номером \(n\) — \(3^{-n}\); г) \(3^{1}\); \(3^{0}\); \(3^{-1}\); \(3^{-2}\); следующие три члена — \(3^{-3}\), \(3^{-4}\), \(3^{-5}\); на 100-м месте \(3^{-98}\), на месте с номером \(n\) — \(3^{2-n}\).
