Страница 37 номер 1.111, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
РАССУЖДАЕМ (1.110—1.111)
Сравните числа \(a\) и \(a^{-1}\), если:
а) \(0 < a < 1\);
б) \(a > 1\);
в) \(-1 < a < 0\);
г) \(a < -1\).
\(a^{-1} = \frac{1}{a}\), и произведение \(a \cdot a^{-1} = 1\), поэтому числа \(a\) и \(a^{-1}\) всегда одного знака.
а) \(0 < a < 1\): число \(a\) — положительная правильная дробь, а обратное ей число больше 1. Например, при \(a = \frac{2}{5}\) получаем \(a^{-1} = \frac{5}{2} = 2{,}5\). Значит, \(a < a^{-1}\).
б) \(a > 1\): число, обратное числу, большему 1, — положительная правильная дробь. Например, при \(a = 4\) получаем \(a^{-1} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). Значит, \(a > a^{-1}\).
в) \(-1 < a < 0\): оба числа отрицательны. Число \(-a\) — положительная правильная дробь, обратное ему число \(\frac{1}{-a}\) больше 1, а противоположное этой дроби число \(a^{-1} = -\frac{1}{-a}\) меньше \(-1\). Например, при \(a = -\frac{2}{5}\) получаем \(a^{-1} = -\frac{5}{2} = -2{,}5\). Значит, \(a > a^{-1}\).
г) \(a < -1\): число \(-a\) больше 1, обратное ему число \(\frac{1}{-a}\) — положительная правильная дробь, а противоположное этой дроби число \(a^{-1} = -\frac{1}{-a}\) заключено между \(-1\) и 0. Например, при \(a = -4\) получаем \(a^{-1} = -\frac{1}{4} = -0{,}25\). Значит, \(a < a^{-1}\).
Ответ: а) \(a < a^{-1}\); б) \(a > a^{-1}\); в) \(a > a^{-1}\); г) \(a < a^{-1}\).
РАССУЖДАЕМ (1.110—1.111)
Сравните числа \(a\) и \(a^{-1}\), если:
а) \(0 < a < 1\);
б) \(a > 1\);
в) \(-1 < a < 0\);
г) \(a < -1\).
Число \(a^{-1} = \frac{1}{a}\) обратно числу \(a\), и произведение \(a \cdot a^{-1} = 1\), поэтому числа \(a\) и \(a^{-1}\) всегда одного знака.
а) \(0 < a < 1\): число \(a\) — положительная правильная дробь, а обратное ей число больше 1. Например, при \(a = \frac{2}{5}\) получаем \(a^{-1} = \frac{5}{2} = 2{,}5\). Число \(a\) меньше 1, а число \(a^{-1}\) больше 1, поэтому \(a < a^{-1}\).
б) \(a > 1\): число, обратное числу, большему 1, — положительная правильная дробь. Например, при \(a = 4\) получаем \(a^{-1} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). Число \(a\) больше 1, а число \(a^{-1}\) меньше 1, поэтому \(a > a^{-1}\).
в) \(-1 < a < 0\): оба числа отрицательны. Число \(-a\) — положительная правильная дробь, обратное ему число \(\frac{1}{-a}\) больше 1, а \(a^{-1} = -\frac{1}{-a}\) противоположно этой дроби, поэтому \(a^{-1}\) меньше \(-1\). Например, при \(a = -\frac{2}{5}\) получаем \(a^{-1} = -\frac{5}{2} = -2{,}5\). Число \(a\) больше \(-1\), а число \(a^{-1}\) меньше \(-1\), поэтому \(a > a^{-1}\).
г) \(a < -1\): число \(-a\) больше 1, обратное ему число \(\frac{1}{-a}\) — положительная правильная дробь, а \(a^{-1} = -\frac{1}{-a}\) противоположно этой дроби, поэтому \(a^{-1}\) заключено между \(-1\) и 0. Например, при \(a = -4\) получаем \(a^{-1} = -\frac{1}{4} = -0{,}25\). Число \(a\) меньше \(-1\), а число \(a^{-1}\) больше \(-1\), поэтому \(a < a^{-1}\).
Ответ: а) \(a < a^{-1}\); б) \(a > a^{-1}\); в) \(a > a^{-1}\); г) \(a < a^{-1}\).
