Страница 37 номер 1.110, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
РАССУЖДАЕМ (1.110—1.111)
Сравните с нулём значения выражений \(m^{16}\), \(m^{-16}\), \(m^{23}\) и \(m^{-23}\), если: а) \(m > 0\); б) \(m < 0\). Сделайте вывод.
Подсказка. Проведите числовой эксперимент.
а) При \(m = 2\):
\[\begin{aligned} &2^{16} = 65\,536; \qquad 2^{-16} = \frac{1}{2^{16}} = \frac{1}{65\,536}; \\ &2^{23} = 8\,388\,608; \qquad 2^{-23} = \frac{1}{2^{23}} = \frac{1}{8\,388\,608}. \end{aligned}\]
Все четыре значения положительны.
б) При \(m = -2\):
\[\begin{aligned} &(-2)^{16} = 65\,536; \qquad (-2)^{-16} = \frac{1}{(-2)^{16}} = \frac{1}{65\,536}; \\ &(-2)^{23} = -8\,388\,608; \qquad (-2)^{-23} = \frac{1}{(-2)^{23}} = -\frac{1}{8\,388\,608}. \end{aligned}\]
Показатели 16 и \(-16\) чётные, поэтому \(m^{16}\) и \(m^{-16}\) положительны; показатели 23 и \(-23\) нечётные, поэтому \(m^{23}\) и \(m^{-23}\) отрицательны.
Вывод: дробь \(\frac{1}{m^n}\) имеет тот же знак, что и \(m^n\), поэтому знак степени с целым показателем определяется так же, как знак степени с натуральным показателем.
Ответ: а) при \(m > 0\) все четыре значения положительны; б) при \(m < 0\) значения \(m^{16}\) и \(m^{-16}\) положительны, а значения \(m^{23}\) и \(m^{-23}\) отрицательны; при положительном основании степень с любым целым показателем положительна, а при отрицательном основании знак степени определяется чётностью показателя.
РАССУЖДАЕМ (1.110—1.111)
Сравните с нулём значения выражений \(m^{16}\), \(m^{-16}\), \(m^{23}\) и \(m^{-23}\), если: а) \(m > 0\); б) \(m < 0\). Сделайте вывод.
Подсказка. Проведите числовой эксперимент.
а) Проведём числовой эксперимент при \(m = 2\):
\[\begin{aligned} &2^{16} = 65\,536; \qquad 2^{-16} = \frac{1}{2^{16}} = \frac{1}{65\,536}; \\ &2^{23} = 8\,388\,608; \qquad 2^{-23} = \frac{1}{2^{23}} = \frac{1}{8\,388\,608}. \end{aligned}\]
Все четыре значения положительны. Так и должно быть: степень положительного числа с натуральным показателем положительна, а \(m^{-n} = \frac{1}{m^n}\) — дробь с положительными числителем и знаменателем.
б) Числовой эксперимент при \(m = -2\):
\[\begin{aligned} &(-2)^{16} = 65\,536; \qquad (-2)^{-16} = \frac{1}{(-2)^{16}} = \frac{1}{65\,536}; \\ &(-2)^{23} = -8\,388\,608; \qquad (-2)^{-23} = \frac{1}{(-2)^{23}} = -\frac{1}{8\,388\,608}. \end{aligned}\]
Показатели 16 и \(-16\) чётные, поэтому \(m^{16}\) и \(m^{-16}\) положительны; показатели 23 и \(-23\) нечётные, поэтому \(m^{23}\) и \(m^{-23}\) отрицательны.
Вывод: знак степени с целым показателем определяется так же, как знак степени с натуральным показателем, потому что дробь \(\frac{1}{m^n}\) имеет тот же знак, что и \(m^n\). При положительном основании степень положительна при любом целом показателе; при отрицательном основании она положительна, если показатель чётный, и отрицательна, если показатель нечётный.
Ответ: а) при \(m > 0\) все четыре значения положительны; б) при \(m < 0\) значения \(m^{16}\) и \(m^{-16}\) положительны, а значения \(m^{23}\) и \(m^{-23}\) отрицательны; при положительном основании степень с любым целым показателем положительна, а при отрицательном основании знак степени определяется чётностью показателя.
