Страница 35 номер 1.105, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева

1) В каждом равенстве слева стоит дробь, а справа — половина разности двух дробей.

а) \(\frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8}\) и \(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2-1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}\) — равенство верно.

б) \(\frac{1}{4 \cdot 6} = \frac{1}{24}\) и \(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{6}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3-2}{12} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{24}\) — равенство верно.

в) \(\frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{15}\) и \(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5-3}{15} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{15} = \frac{1}{15}\) — равенство верно.

г) \(\frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{35}\) и \(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{7-5}{35} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{35} = \frac{1}{35}\) — равенство верно.

Такие же равенства получаются для любых двух чисел, отличающихся на 2:
\[\frac{1}{6 \cdot 8} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{6} - \frac{1}{8}\right) = \frac{1}{48}; \qquad \frac{1}{7 \cdot 9} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{9}\right) = \frac{1}{63}; \qquad \frac{1}{10 \cdot 12} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{10} - \frac{1}{12}\right) = \frac{1}{120}.\]

Буквенное равенство:
\[\frac{1}{a(a+2)} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+2}\right).\]

Докажем его, преобразовав правую часть:
\[\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(a+2) - a}{a(a+2)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{a(a+2)} = \frac{1}{a(a+2)}.\]

Правая часть равенства равна левой при всех допустимых значениях \(a\), значит, равенство верно.

2) а) В сумме 11 дробей: первые множители их знаменателей — числа 3, 5, 7, …, 23. Заменим каждую дробь по доказанному равенству и вынесем множитель \(\frac{1}{2}\) за скобки — в скобках все слагаемые, кроме \(\frac{1}{3}\) и \(-\frac{1}{25}\), взаимно уничтожаются:
\[\begin{aligned} &\frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} + \ldots + \frac{1}{23 \cdot 25} = {} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \ldots + \frac{1}{23} - \frac{1}{25}\right) = {} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{25}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{25-3}{75} = \frac{1}{2} \cdot \frac{22}{75} = \frac{11}{75}. \end{aligned}\]

б) В сумме 50 дробей: первые множители их знаменателей — \(a\), \(a+2\), \(a+4\), …, \(a+98\):
\[\begin{aligned} &\frac{1}{a(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+4)} + \ldots + \frac{1}{(a+98)(a+100)} = {} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+2} + \frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+4} + \ldots + \frac{1}{a+98} - \frac{1}{a+100}\right) = {} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+100}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{100}{a(a+100)} = \frac{50}{a(a+100)}. \end{aligned}\]

Те же суммы можно найти, последовательно складывая дроби.

а) \[\begin{aligned} &\frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{15} + \frac{1}{35} = \frac{7+3}{105} = \frac{10}{105} = \frac{2}{21} = \frac{2}{3 \cdot 7}; \\ &\frac{2}{3 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} = \frac{2}{21} + \frac{1}{63} = \frac{6+1}{63} = \frac{7}{63} = \frac{1}{9} = \frac{3}{3 \cdot 9}; \\ &\frac{3}{3 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 11} = \frac{1}{9} + \frac{1}{99} = \frac{11+1}{99} = \frac{12}{99} = \frac{4}{33} = \frac{4}{3 \cdot 11}. \end{aligned}\]

В числителе каждый раз оказывается количество сложенных дробей, а в знаменателе — произведение числа 3 и последнего множителя. Сложив все 11 дробей, получим \(\frac{11}{3 \cdot 25} = \frac{11}{75}\).

б) \[\begin{aligned} &\frac{1}{a(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+4)} = \frac{(a+4) + a}{a(a+2)(a+4)} = \frac{2(a+2)}{a(a+2)(a+4)} = \frac{2}{a(a+4)}; \\ &\frac{2}{a(a+4)} + \frac{1}{(a+4)(a+6)} = \frac{2(a+6) + a}{a(a+4)(a+6)} = \frac{3(a+4)}{a(a+4)(a+6)} = \frac{3}{a(a+6)}. \end{aligned}\]

В числителе оказывается количество сложенных дробей, а в знаменателе — произведение \(a\) и последнего множителя. Сложив все 50 дробей, получим \(\frac{50}{a(a+100)}\).

Результаты, полученные двумя способами, совпали.

Ответ: 1) все четыре равенства верны; буквенное равенство — \(\frac{1}{a(a+2)} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+2}\right)\); 2) а) \(\frac{11}{75}\); б) \(\frac{50}{a(a+100)}\); оба способа дают одинаковые результаты.