Страница 34 номер 1.104, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ.
а) Дано: \(x+\frac{1}{x}=y\). Выразите \(x^2+\frac{1}{x^2}\) через \(y\).
б) Дано: \(x-\frac{1}{x}=y\). Выразите \(x^2+\frac{1}{x^2}\) через \(y\).
Образец. Дано: \(x+\frac{2}{x}=y\). Выразим \(x^2+\frac{4}{x^2}\) через \(y\):
\[\left(x+\frac{2}{x}\right)^2=x^2+2\cdot x\cdot\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}=x^2+4+\frac{4}{x^2}.\]
Отсюда \(x^2+\frac{4}{x^2}=\left(x+\frac{2}{x}\right)^2-4=y^2-4\).
а) \(\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}\), отсюда \(x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2 = y^2 - 2\).
б) \(\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}\), отсюда \(x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x - \frac{1}{x}\right)^2 + 2 = y^2 + 2\).
Ответ: а) \(x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2\); б) \(x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 + 2\).
РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ.
а) Дано: \(x+\frac{1}{x}=y\). Выразите \(x^2+\frac{1}{x^2}\) через \(y\).
б) Дано: \(x-\frac{1}{x}=y\). Выразите \(x^2+\frac{1}{x^2}\) через \(y\).
Образец. Дано: \(x+\frac{2}{x}=y\). Выразим \(x^2+\frac{4}{x^2}\) через \(y\):
\[\left(x+\frac{2}{x}\right)^2=x^2+2\cdot x\cdot\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}=x^2+4+\frac{4}{x^2}.\]
Отсюда \(x^2+\frac{4}{x^2}=\left(x+\frac{2}{x}\right)^2-4=y^2-4\).
Чтобы получить сумму квадратов, возведём в квадрат данное по условию выражение.
а) \(\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}\), отсюда \(x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2 = y^2 - 2\).
б) \(\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}\), отсюда \(x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x - \frac{1}{x}\right)^2 + 2 = y^2 + 2\).
Ответ: а) \(x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2\); б) \(x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 + 2\).
