Вопросы после параграфа 1.6 на страницах 36-37, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Воспользуйтесь определением степени с целым отрицательным показателем для нахождения значения выражения: \((8)^{-2}\); \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-3}\).
Запишите число, обратное данному, с помощью показателя \(-1\) и найдите это число: 8; \(\frac{2}{5}\); \(-3\). Найдите произведение: \(8 \cdot 8^{-1}\); \(\frac{2}{5} \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{-1}\); \((-3) \cdot (-3)^{-1}\).
Сформулируйте определение степени с нулевым показателем. Чему равно \(100^0\)?
Представьте в десятичной записи число, записанное в стандартном виде: \(5{,}9 \cdot 10^{-5}\); \(9{,}1 \cdot 10^{9}\).
\[8^{-2} = \frac{1}{8^2} = \frac{1}{64}; \qquad \left(\frac{2}{5}\right)^{-3} = \frac{1}{\left(\frac{2}{5}\right)^3} = \frac{1}{\frac{8}{125}} = \frac{125}{8} = 15\frac{5}{8}.\]
Ответ: \(8^{-2} = \frac{1}{64}\); \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-3} = \frac{125}{8} = 15\frac{5}{8}\).
Число, обратное числу \(a\), записывается как \(a^{-1} = \frac{1}{a}\).
\[8^{-1} = \frac{1}{8}; \qquad \left(\frac{2}{5}\right)^{-1} = \frac{1}{\frac{2}{5}} = \frac{5}{2} = 2{,}5; \qquad (-3)^{-1} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}.\]
Произведения:
\[8 \cdot 8^{-1} = 8 \cdot \frac{1}{8} = 1; \qquad \frac{2}{5} \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{-1} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} = 1; \qquad (-3) \cdot (-3)^{-1} = (-3) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 1.\]
Каждое произведение равно 1: числа \(a\) и \(a^{-1}\) взаимно обратные.
Ответ: \(8^{-1} = \frac{1}{8}\); \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-1} = \frac{5}{2} = 2{,}5\); \((-3)^{-1} = -\frac{1}{3}\); каждое из трёх произведений равно 1.
Для любого числа \(a\), не равного нулю, \(a^0 = 1\). Выражение \(0^0\) смысла не имеет.
Число 100 нулю не равно, поэтому \(100^0 = 1\).
Ответ: для любого числа \(a\), не равного нулю, \(a^0 = 1\); \(100^0 = 1\).
\[5{,}9 \cdot 10^{-5} = \frac{5{,}9}{10^5} = \frac{5{,}9}{100\,000} = 0{,}000059; \qquad 9{,}1 \cdot 10^9 = 9{,}1 \cdot 1\,000\,000\,000 = 9\,100\,000\,000.\]
Ответ: \(5{,}9 \cdot 10^{-5} = 0{,}000059\); \(9{,}1 \cdot 10^9 = 9\,100\,000\,000\).
Воспользуйтесь определением степени с целым отрицательным показателем для нахождения значения выражения: \((8)^{-2}\); \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-3}\).
Запишите число, обратное данному, с помощью показателя \(-1\) и найдите это число: 8; \(\frac{2}{5}\); \(-3\). Найдите произведение: \(8 \cdot 8^{-1}\); \(\frac{2}{5} \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{-1}\); \((-3) \cdot (-3)^{-1}\).
Сформулируйте определение степени с нулевым показателем. Чему равно \(100^0\)?
Представьте в десятичной записи число, записанное в стандартном виде: \(5{,}9 \cdot 10^{-5}\); \(9{,}1 \cdot 10^{9}\).
По определению для любого числа \(a\), не равного нулю, и целого отрицательного числа \(-n\) выполняется равенство \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\).
\[8^{-2} = \frac{1}{8^2} = \frac{1}{64}; \qquad \left(\frac{2}{5}\right)^{-3} = \frac{1}{\left(\frac{2}{5}\right)^3} = \frac{1}{\frac{8}{125}} = \frac{125}{8} = 15\frac{5}{8}.\]
Ответ: \(8^{-2} = \frac{1}{64}\); \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-3} = \frac{125}{8} = 15\frac{5}{8}\).
Число, обратное числу \(a\), записывается как \(a^{-1}\), потому что \(a^{-1} = \frac{1}{a}\).
\[8^{-1} = \frac{1}{8}; \qquad \left(\frac{2}{5}\right)^{-1} = \frac{1}{\frac{2}{5}} = \frac{5}{2} = 2{,}5; \qquad (-3)^{-1} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}.\]
Произведения:
\[8 \cdot 8^{-1} = 8 \cdot \frac{1}{8} = 1; \qquad \frac{2}{5} \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{-1} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} = 1; \qquad (-3) \cdot (-3)^{-1} = (-3) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 1.\]
Каждое произведение равно 1: числа \(a\) и \(a^{-1}\) взаимно обратные.
Ответ: \(8^{-1} = \frac{1}{8}\); \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-1} = \frac{5}{2} = 2{,}5\); \((-3)^{-1} = -\frac{1}{3}\); каждое из трёх произведений равно 1.
Для любого числа \(a\), не равного нулю, \(a^0 = 1\). Выражение \(0^0\) смысла не имеет.
Число 100 нулю не равно, поэтому \(100^0 = 1\).
Ответ: для любого числа \(a\), не равного нулю, \(a^0 = 1\); \(100^0 = 1\).
\[5{,}9 \cdot 10^{-5} = \frac{5{,}9}{10^5} = \frac{5{,}9}{100\,000} = 0{,}000059; \qquad 9{,}1 \cdot 10^9 = 9{,}1 \cdot 1\,000\,000\,000 = 9\,100\,000\,000.\]
Ответ: \(5{,}9 \cdot 10^{-5} = 0{,}000059\); \(9{,}1 \cdot 10^9 = 9\,100\,000\,000\).
