Страница 34 номер 1.103, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Упростите выражение:
а) \(\left(1-z-\frac{2z}{z-1}\right):\left(\frac{1}{z}+z\right)\cdot\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{z^3}\right)\);
б) \(\left(a-5+\frac{a^2+7}{a+5}\right)\cdot\left(\frac{a}{a-3}-\frac{a}{a+3}\right):\frac{6a}{25-a^2}\);
в) \(\frac{a^3-b^3}{2a+2b}\cdot\left(\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{a+b}\right):\frac{a^2+ab+b^2}{(a+b)^2}\);
г) \(\frac{1}{x+y}+\frac{x^2+y^2-xy}{y^2-x^2}\cdot\frac{xy-y^2}{x^3+y^3}-\frac{1}{(x+y)^2}\).
а) 1) \(1 - z - \frac{2z}{z-1} = \frac{(1-z)(z-1) - 2z}{z-1} = \frac{-z^2 + 2z - 1 - 2z}{z-1} = -\frac{z^2+1}{z-1}\);
2) \(\frac{1}{z} + z = \frac{1 + z^2}{z} = \frac{z^2+1}{z}\);
3) \(\frac{1}{z} - \frac{1}{z^3} = \frac{z^2 - 1}{z^3}\);
4) \(-\frac{z^2+1}{z-1} : \frac{z^2+1}{z} = -\frac{z^2+1}{z-1} \cdot \frac{z}{z^2+1} = -\frac{(z^2+1) \cdot z}{(z-1)(z^2+1)} = -\frac{z}{z-1}\);
5) \(-\frac{z}{z-1} \cdot \frac{z^2-1}{z^3} = -\frac{z(z-1)(z+1)}{(z-1) \cdot z^3} = -\frac{z+1}{z^2}\).
б) 1) \(a - 5 + \frac{a^2+7}{a+5} = \frac{(a-5)(a+5) + a^2 + 7}{a+5} = \frac{a^2 - 25 + a^2 + 7}{a+5} = \frac{2a^2 - 18}{a+5}\);
2) \(\frac{a}{a-3} - \frac{a}{a+3} = \frac{a(a+3) - a(a-3)}{(a-3)(a+3)} = \frac{a^2 + 3a - a^2 + 3a}{(a-3)(a+3)} = \frac{6a}{(a-3)(a+3)}\);
3) \(\frac{2a^2-18}{a+5} \cdot \frac{6a}{(a-3)(a+3)} = \frac{2(a-3)(a+3) \cdot 6a}{(a+5)(a-3)(a+3)} = \frac{12a}{a+5}\);
4) \(\frac{12a}{a+5} : \frac{6a}{25-a^2} = \frac{12a}{a+5} \cdot \frac{25-a^2}{6a} = \frac{12a(5-a)(5+a)}{(a+5) \cdot 6a} = 2(5-a) = 10 - 2a\).
в) 1) \(\frac{a+b}{a-b} + \frac{a-b}{a+b} = \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{2(a^2+b^2)}{(a-b)(a+b)}\);
2) \(\frac{a^3-b^3}{2a+2b} \cdot \frac{2(a^2+b^2)}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2) \cdot 2(a^2+b^2)}{2(a+b)(a-b)(a+b)} = \frac{(a^2+ab+b^2)(a^2+b^2)}{(a+b)^2}\);
3) \(\frac{(a^2+ab+b^2)(a^2+b^2)}{(a+b)^2} : \frac{a^2+ab+b^2}{(a+b)^2} = \frac{(a^2+ab+b^2)(a^2+b^2)(a+b)^2}{(a+b)^2(a^2+ab+b^2)} = a^2 + b^2\).
г) 1) \(\frac{x^2+y^2-xy}{y^2-x^2} \cdot \frac{xy-y^2}{x^3+y^3} = \frac{(x^2-xy+y^2) \cdot y(x-y)}{(y-x)(y+x) \cdot (x+y)(x^2-xy+y^2)} = \frac{-y(y-x)}{(y-x)(x+y)^2} = -\frac{y}{(x+y)^2}\);
2) Общий знаменатель — \((x+y)^2\), дополнительный множитель — \(x+y\):
\[\frac{1}{x+y} - \frac{y}{(x+y)^2} - \frac{1}{(x+y)^2} = \frac{(x+y) - y - 1}{(x+y)^2} = \frac{x-1}{(x+y)^2}.\]
Ответ: а) \(-\frac{z+1}{z^2}\); б) \(10 - 2a\); в) \(a^2 + b^2\); г) \(\frac{x-1}{(x+y)^2}\).
Упростите выражение:
а) \(\left(1-z-\frac{2z}{z-1}\right):\left(\frac{1}{z}+z\right)\cdot\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{z^3}\right)\);
б) \(\left(a-5+\frac{a^2+7}{a+5}\right)\cdot\left(\frac{a}{a-3}-\frac{a}{a+3}\right):\frac{6a}{25-a^2}\);
в) \(\frac{a^3-b^3}{2a+2b}\cdot\left(\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{a+b}\right):\frac{a^2+ab+b^2}{(a+b)^2}\);
г) \(\frac{1}{x+y}+\frac{x^2+y^2-xy}{y^2-x^2}\cdot\frac{xy-y^2}{x^3+y^3}-\frac{1}{(x+y)^2}\).
Выражения удобно преобразовывать по действиям.
а) 1) \(1 - z - \frac{2z}{z-1} = \frac{(1-z)(z-1) - 2z}{z-1} = \frac{-z^2 + 2z - 1 - 2z}{z-1} = -\frac{z^2+1}{z-1}\);
2) \(\frac{1}{z} + z = \frac{1 + z^2}{z} = \frac{z^2+1}{z}\);
3) \(\frac{1}{z} - \frac{1}{z^3} = \frac{z^2 - 1}{z^3}\);
4) \(-\frac{z^2+1}{z-1} : \frac{z^2+1}{z} = -\frac{z^2+1}{z-1} \cdot \frac{z}{z^2+1} = -\frac{(z^2+1) \cdot z}{(z-1)(z^2+1)} = -\frac{z}{z-1}\);
5) \(-\frac{z}{z-1} \cdot \frac{z^2-1}{z^3} = -\frac{z(z-1)(z+1)}{(z-1) \cdot z^3} = -\frac{z+1}{z^2}\).
б) 1) \(a - 5 + \frac{a^2+7}{a+5} = \frac{(a-5)(a+5) + a^2 + 7}{a+5} = \frac{a^2 - 25 + a^2 + 7}{a+5} = \frac{2a^2 - 18}{a+5}\);
2) \(\frac{a}{a-3} - \frac{a}{a+3} = \frac{a(a+3) - a(a-3)}{(a-3)(a+3)} = \frac{a^2 + 3a - a^2 + 3a}{(a-3)(a+3)} = \frac{6a}{(a-3)(a+3)}\);
3) \(\frac{2a^2-18}{a+5} \cdot \frac{6a}{(a-3)(a+3)} = \frac{2(a-3)(a+3) \cdot 6a}{(a+5)(a-3)(a+3)} = \frac{12a}{a+5}\);
4) \(\frac{12a}{a+5} : \frac{6a}{25-a^2} = \frac{12a}{a+5} \cdot \frac{25-a^2}{6a} = \frac{12a(5-a)(5+a)}{(a+5) \cdot 6a} = 2(5-a) = 10 - 2a\).
в) 1) \(\frac{a+b}{a-b} + \frac{a-b}{a+b} = \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{2(a^2+b^2)}{(a-b)(a+b)}\);
2) \(\frac{a^3-b^3}{2a+2b} \cdot \frac{2(a^2+b^2)}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2) \cdot 2(a^2+b^2)}{2(a+b)(a-b)(a+b)} = \frac{(a^2+ab+b^2)(a^2+b^2)}{(a+b)^2}\);
3) \(\frac{(a^2+ab+b^2)(a^2+b^2)}{(a+b)^2} : \frac{a^2+ab+b^2}{(a+b)^2} = \frac{(a^2+ab+b^2)(a^2+b^2)(a+b)^2}{(a+b)^2(a^2+ab+b^2)} = a^2 + b^2\).
г) 1) \(\frac{x^2+y^2-xy}{y^2-x^2} \cdot \frac{xy-y^2}{x^3+y^3} = \frac{(x^2-xy+y^2) \cdot y(x-y)}{(y-x)(y+x) \cdot (x+y)(x^2-xy+y^2)} = \frac{-y(y-x)}{(y-x)(x+y)^2} = -\frac{y}{(x+y)^2}\);
2) Общий знаменатель оставшихся дробей — \((x+y)^2\), дополнительный множитель дроби \(\frac{1}{x+y}\) равен \(x+y\):
\[\frac{1}{x+y} - \frac{y}{(x+y)^2} - \frac{1}{(x+y)^2} = \frac{(x+y) - y - 1}{(x+y)^2} = \frac{x-1}{(x+y)^2}.\]
Ответ: а) \(-\frac{z+1}{z^2}\); б) \(10 - 2a\); в) \(a^2 + b^2\); г) \(\frac{x-1}{(x+y)^2}\).
