Страница 34 номер 1.102, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
ДОКАЗЫВАЕМ (1.101—1.102).
Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значения выражения:
а) \(\left(\frac{b^2}{a^3-ab^2}-\frac{b}{a^2-ab}\right)\cdot\left(\frac{a}{b^2+ab}-\frac{1}{a+b}\right)\) отрицательны;
б) \(\frac{x^3-y^3}{2x+2y}\cdot\frac{(x+y)^2}{x^2+xy+y^2}:\left(\frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y}\right)\) неотрицательны.
а)
1) \(\frac{b^2}{a^3-ab^2}-\frac{b}{a^2-ab} = \frac{b^2}{a(a-b)(a+b)}-\frac{b(a+b)}{a(a-b)(a+b)} = \frac{b^2-ab-b^2}{a(a-b)(a+b)} = \frac{-b}{(a-b)(a+b)}\);
2) \(\frac{a}{b^2+ab}-\frac{1}{a+b} = \frac{a}{b(a+b)}-\frac{b}{b(a+b)} = \frac{a-b}{b(a+b)}\);
3) \(\frac{-b}{(a-b)(a+b)}\cdot\frac{a-b}{b(a+b)} = \frac{-b(a-b)}{(a-b)(a+b)b(a+b)} = -\frac{1}{(a+b)^2}\).
При допустимых значениях переменных сумма \(a+b\) в нуль не обращается, поэтому \((a+b)^2\) — число положительное, дробь \(\frac{1}{(a+b)^2}\) положительна, а противоположное ей значение выражения отрицательно.
б)
1) \(\frac{x^3-y^3}{2x+2y}\cdot\frac{(x+y)^2}{x^2+xy+y^2} = \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)(x+y)^2}{2(x+y)(x^2+xy+y^2)} = \frac{(x-y)(x+y)}{2}\);
2) \(\frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y} = \frac{(x+y)^2+(x-y)^2}{(x-y)(x+y)} = \frac{x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2}{(x-y)(x+y)} = \frac{2x^2+2y^2}{x^2-y^2}\);
3) \(\frac{(x-y)(x+y)}{2}:\frac{2x^2+2y^2}{x^2-y^2} = \frac{(x^2-y^2)(x^2-y^2)}{2 \cdot 2(x^2+y^2)} = \frac{(x^2-y^2)^2}{4(x^2+y^2)}\).
Числитель — квадрат, поэтому он неотрицателен. Знаменатель положителен: при допустимых значениях переменных числа \(x\) и \(y\) не могут быть равны нулю одновременно (иначе разность \(x-y\) обратилась бы в нуль), и потому сумма \(x^2+y^2\) больше нуля. Дробь с неотрицательным числителем и положительным знаменателем неотрицательна, значит, и значения выражения неотрицательны.
Ответ: а) выражение равно \(-\frac{1}{(a+b)^2}\), а такая дробь при всех допустимых значениях переменных отрицательна; б) выражение равно \(\frac{(x^2-y^2)^2}{4(x^2+y^2)}\) — дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем, поэтому его значения неотрицательны, что и требовалось доказать.
ДОКАЗЫВАЕМ (1.101—1.102).
Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значения выражения:
а) \(\left(\frac{b^2}{a^3-ab^2}-\frac{b}{a^2-ab}\right)\cdot\left(\frac{a}{b^2+ab}-\frac{1}{a+b}\right)\) отрицательны;
б) \(\frac{x^3-y^3}{2x+2y}\cdot\frac{(x+y)^2}{x^2+xy+y^2}:\left(\frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y}\right)\) неотрицательны.
Чтобы узнать знак значений выражения, упростим его. Преобразование выполняем по действиям.
а)
1) \(\frac{b^2}{a^3-ab^2}-\frac{b}{a^2-ab} = \frac{b^2}{a(a-b)(a+b)}-\frac{b(a+b)}{a(a-b)(a+b)} = \frac{b^2-ab-b^2}{a(a-b)(a+b)} = \frac{-b}{(a-b)(a+b)}\);
2) \(\frac{a}{b^2+ab}-\frac{1}{a+b} = \frac{a}{b(a+b)}-\frac{b}{b(a+b)} = \frac{a-b}{b(a+b)}\);
3) \(\frac{-b}{(a-b)(a+b)}\cdot\frac{a-b}{b(a+b)} = \frac{-b(a-b)}{(a-b)(a+b)b(a+b)} = -\frac{1}{(a+b)^2}\).
При допустимых значениях переменных сумма \(a+b\) в нуль не обращается, иначе знаменатели дробей теряли бы смысл. Поэтому квадрат \((a+b)^2\) — число положительное, дробь \(\frac{1}{(a+b)^2}\) положительна, а противоположное ей число \(-\frac{1}{(a+b)^2}\) отрицательно. Значит, и равное ему данное выражение принимает только отрицательные значения.
б)
1) \(\frac{x^3-y^3}{2x+2y}\cdot\frac{(x+y)^2}{x^2+xy+y^2} = \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)(x+y)^2}{2(x+y)(x^2+xy+y^2)} = \frac{(x-y)(x+y)}{2}\);
2) \(\frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y} = \frac{(x+y)^2+(x-y)^2}{(x-y)(x+y)} = \frac{x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2}{(x-y)(x+y)} = \frac{2x^2+2y^2}{x^2-y^2}\);
3) \(\frac{(x-y)(x+y)}{2}:\frac{2x^2+2y^2}{x^2-y^2} = \frac{(x^2-y^2)(x^2-y^2)}{2 \cdot 2(x^2+y^2)} = \frac{(x^2-y^2)^2}{4(x^2+y^2)}\).
Числитель полученной дроби — квадрат, поэтому он неотрицателен. Знаменатель положителен: при допустимых значениях переменных числа \(x\) и \(y\) не могут быть равны нулю одновременно (иначе разность \(x-y\) обратилась бы в нуль), и потому сумма \(x^2+y^2\) больше нуля. Дробь с неотрицательным числителем и положительным знаменателем неотрицательна, значит, и данное выражение принимает только неотрицательные значения.
Ответ: а) выражение равно \(-\frac{1}{(a+b)^2}\), а такая дробь при всех допустимых значениях переменных отрицательна; б) выражение равно \(\frac{(x^2-y^2)^2}{4(x^2+y^2)}\) — дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем, поэтому его значения неотрицательны, что и требовалось доказать.
