Страница 34 номер 1.101, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
ДОКАЗЫВАЕМ (1.101—1.102).
Докажите, что значение выражения не зависит от значений переменных:
а) \(\frac{16b^2-a^2}{4b}\cdot\left(\frac{a+4b}{a^2-4ab}-\frac{a-4b}{a^2+4ab}\right)\);
б) \(\frac{3y}{9y^2-x^2}:\left(\frac{x-3y}{x^2+3xy}+\frac{x+3y}{3xy-x^2}\right)\).
а)
1) \(\frac{a+4b}{a^2-4ab}-\frac{a-4b}{a^2+4ab} = \frac{(a+4b)^2-(a-4b)^2}{a(a-4b)(a+4b)} = \frac{16ab}{a(a^2-16b^2)} = \frac{16b}{a^2-16b^2}\);
2) \(\frac{16b^2-a^2}{4b}\cdot\frac{16b}{a^2-16b^2} = \frac{-(a^2-16b^2) \cdot 16b}{4b(a^2-16b^2)} = -4\).
При всех допустимых значениях переменных выражение равно числу \(-4\), значит, от \(a\) и \(b\) не зависит.
б)
1) \(\frac{x-3y}{x^2+3xy}+\frac{x+3y}{3xy-x^2} = \frac{x-3y}{x(x+3y)}-\frac{x+3y}{x(x-3y)} = \frac{(x-3y)^2-(x+3y)^2}{x(x+3y)(x-3y)} = \frac{-12xy}{x(x^2-9y^2)} = \frac{-12y}{x^2-9y^2}\);
2) \(\frac{3y}{9y^2-x^2}:\frac{-12y}{x^2-9y^2} = \frac{3y(x^2-9y^2)}{(9y^2-x^2)(-12y)} = \frac{3y(x^2-9y^2)}{-(x^2-9y^2)(-12y)} = \frac{1}{4}\).
При всех допустимых значениях переменных выражение равно числу \(\frac{1}{4}\), значит, от \(x\) и \(y\) не зависит.
Ответ: а) выражение равно \(-4\); б) выражение равно \(\frac{1}{4}\); в обоих случаях получилось число, поэтому значение выражения не зависит от значений переменных, что и требовалось доказать.
ДОКАЗЫВАЕМ (1.101—1.102).
Докажите, что значение выражения не зависит от значений переменных:
а) \(\frac{16b^2-a^2}{4b}\cdot\left(\frac{a+4b}{a^2-4ab}-\frac{a-4b}{a^2+4ab}\right)\);
б) \(\frac{3y}{9y^2-x^2}:\left(\frac{x-3y}{x^2+3xy}+\frac{x+3y}{3xy-x^2}\right)\).
Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значений переменных, достаточно упростить это выражение и получить число. Преобразование выполняем по действиям.
а)
1) \(\frac{a+4b}{a^2-4ab}-\frac{a-4b}{a^2+4ab} = \frac{(a+4b)^2-(a-4b)^2}{a(a-4b)(a+4b)} = \frac{16ab}{a(a^2-16b^2)} = \frac{16b}{a^2-16b^2}\);
2) \(\frac{16b^2-a^2}{4b}\cdot\frac{16b}{a^2-16b^2} = \frac{-(a^2-16b^2) \cdot 16b}{4b(a^2-16b^2)} = -4\).
Данное выражение при всех допустимых значениях переменных равно числу \(-4\), а значит, от значений \(a\) и \(b\) не зависит.
б)
1) \(\frac{x-3y}{x^2+3xy}+\frac{x+3y}{3xy-x^2} = \frac{x-3y}{x(x+3y)}-\frac{x+3y}{x(x-3y)} = \frac{(x-3y)^2-(x+3y)^2}{x(x+3y)(x-3y)} = \frac{-12xy}{x(x^2-9y^2)} = \frac{-12y}{x^2-9y^2}\);
2) \(\frac{3y}{9y^2-x^2}:\frac{-12y}{x^2-9y^2} = \frac{3y(x^2-9y^2)}{(9y^2-x^2)(-12y)} = \frac{3y(x^2-9y^2)}{-(x^2-9y^2)(-12y)} = \frac{1}{4}\).
Данное выражение при всех допустимых значениях переменных равно числу \(\frac{1}{4}\), а значит, от значений \(x\) и \(y\) не зависит.
Ответ: а) выражение равно \(-4\); б) выражение равно \(\frac{1}{4}\); в обоих случаях получилось число, поэтому значение выражения не зависит от значений переменных, что и требовалось доказать.
