Вопросы после параграфа 1.7 на странице 44, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Во фрагменте 1 выполнена проверка основного свойства степени с целым показателем на конкретных примерах. Проведите аналогичным образом проверку этого свойства, если: а) \(m = -1\), \(n = -10\); б) \(m = 8\), \(n = -2\); в) \(m = 0\), \(n = -12\).
а) Во фрагменте 2 в каждом примере сформулировано некоторое правило выполнения действий со степенями с целыми показателями. Найдите в учебном пособии для каждого правила соответствующее свойство, записанное с помощью букв.
б) Запишите в виде степени с основанием \(a\): \(a^{15} \cdot a^{-12}\); \(a^{7} \cdot a^{-7}\); \(\frac{a^{-6}}{a^{-2}}\); \((a^{-3})^{3}\).
Какие из следующих выражений нельзя упростить на основе свойств степени с целым показателем?
1) \(a^{-7} \cdot a^{12}\) 2) \(m^{6} \cdot n^{-9}\) 3) \(\frac{x^{10}}{y^{5}}\) 4) \(\frac{b^{5}}{b^{10}}\)
Объясните свой ответ.
Проверяем свойство \(a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}\).
а) \(m = -1\), \(n = -10\):
\[\begin{aligned} &a^{-1} \cdot a^{-10} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a^{10}} = \frac{1}{a \cdot a^{10}} = {} \\ &= \frac{1}{a^{1 + 10}} = a^{-(1 + 10)} = a^{(-1) + (-10)}. \end{aligned}\]
б) \(m = 8\), \(n = -2\):
\[a^{8} \cdot a^{-2} = a^{8} \cdot \frac{1}{a^{2}} = \frac{a^{8}}{a^{2}} = a^{8 - 2} = a^{8 + (-2)}.\]
в) \(m = 0\), \(n = -12\):
\[a^{0} \cdot a^{-12} = 1 \cdot a^{-12} = a^{-12} = a^{0 + (-12)}.\]
В каждом случае показатель произведения равен сумме \(m + n\).
Ответ: проверка подтверждает свойство: \(a^{-1} \cdot a^{-10} = a^{(-1) + (-10)} = a^{-11}\); \(a^{8} \cdot a^{-2} = a^{8 + (-2)} = a^{6}\); \(a^{0} \cdot a^{-12} = a^{0 + (-12)} = a^{-12}\).
а) «При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются» — свойство \(a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}\).
«При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя» — свойство \(a^{m} : a^{n} = a^{m - n}\).
«Чтобы возвести степень в степень, надо перемножить показатели степеней» — свойство \((a^{m})^{n} = a^{mn}\); в том же примере применено и правило умножения степеней с одинаковыми основаниями.
б) \[a^{15} \cdot a^{-12} = a^{15 + (-12)} = a^{3}; \qquad a^{7} \cdot a^{-7} = a^{7 + (-7)} = a^{0} = 1;\]
\[\frac{a^{-6}}{a^{-2}} = a^{-6 - (-2)} = a^{-4}; \qquad (a^{-3})^{3} = a^{-3 \cdot 3} = a^{-9}.\]
Ответ: а) правилу умножения степеней с одинаковыми основаниями отвечает свойство \(a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}\), правилу деления — свойство \(a^{m} : a^{n} = a^{m - n}\), правилу возведения степени в степень — свойство \((a^{m})^{n} = a^{mn}\); б) \(a^{15} \cdot a^{-12} = a^{3}\); \(a^{7} \cdot a^{-7} = a^{0} = 1\); \(\frac{a^{-6}}{a^{-2}} = a^{-4}\); \((a^{-3})^{3} = a^{-9}\).
1) Основания одинаковые, показатели складываются: \(a^{-7} \cdot a^{12} = a^{-7 + 12} = a^{5}\).
2) Основания разные — \(m\) и \(n\), поэтому показатели складывать нельзя и произведение \(m^{6} \cdot n^{-9}\) не упрощается.
3) Основания разные — \(x\) и \(y\), поэтому вычитать показатели нельзя и дробь \(\frac{x^{10}}{y^{5}}\) не упрощается.
4) Основания одинаковые, показатели вычитаются: \(\frac{b^{5}}{b^{10}} = b^{5 - 10} = b^{-5}\).
Ответ: нельзя упростить выражения 2) \(m^{6} \cdot n^{-9}\) и 3) \(\frac{x^{10}}{y^{5}}\), потому что в них основания степеней разные, а свойства степени с целым показателем относятся к степеням с одинаковыми основаниями; выражения 1) и 4) упрощаются: \(a^{-7} \cdot a^{12} = a^{5}\) и \(\frac{b^{5}}{b^{10}} = b^{-5}\).
Во фрагменте 1 выполнена проверка основного свойства степени с целым показателем на конкретных примерах. Проведите аналогичным образом проверку этого свойства, если: а) \(m = -1\), \(n = -10\); б) \(m = 8\), \(n = -2\); в) \(m = 0\), \(n = -12\).
а) Во фрагменте 2 в каждом примере сформулировано некоторое правило выполнения действий со степенями с целыми показателями. Найдите в учебном пособии для каждого правила соответствующее свойство, записанное с помощью букв.
б) Запишите в виде степени с основанием \(a\): \(a^{15} \cdot a^{-12}\); \(a^{7} \cdot a^{-7}\); \(\frac{a^{-6}}{a^{-2}}\); \((a^{-3})^{3}\).
Какие из следующих выражений нельзя упростить на основе свойств степени с целым показателем?
1) \(a^{-7} \cdot a^{12}\) 2) \(m^{6} \cdot n^{-9}\) 3) \(\frac{x^{10}}{y^{5}}\) 4) \(\frac{b^{5}}{b^{10}}\)
Объясните свой ответ.
Основное свойство степени выражается равенством \(a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}\). Проверим его для указанных значений показателей, пользуясь определением степени с целым отрицательным показателем и определением степени с нулевым показателем.
а) Пусть \(m = -1\) и \(n = -10\), тогда
\[\begin{aligned} &a^{-1} \cdot a^{-10} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a^{10}} = \frac{1}{a \cdot a^{10}} = {} \\ &= \frac{1}{a^{1 + 10}} = a^{-(1 + 10)} = a^{(-1) + (-10)}. \end{aligned}\]
б) Пусть \(m = 8\) и \(n = -2\), тогда
\[a^{8} \cdot a^{-2} = a^{8} \cdot \frac{1}{a^{2}} = \frac{a^{8}}{a^{2}} = a^{8 - 2} = a^{8 + (-2)}.\]
в) Пусть \(m = 0\) и \(n = -12\), тогда
\[a^{0} \cdot a^{-12} = 1 \cdot a^{-12} = a^{-12} = a^{0 + (-12)}.\]
В каждом из трёх случаев произведение оказалось степенью с тем же основанием, показатель которой равен сумме \(m + n\).
Ответ: проверка подтверждает свойство: \(a^{-1} \cdot a^{-10} = a^{(-1) + (-10)} = a^{-11}\); \(a^{8} \cdot a^{-2} = a^{8 + (-2)} = a^{6}\); \(a^{0} \cdot a^{-12} = a^{0 + (-12)} = a^{-12}\).
а) В примерах сформулированы три правила действий со степенями, и каждому из них отвечает своё свойство степени с целым показателем.
Правилу «при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются» отвечает свойство \(a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}\).
Правилу «при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя» отвечает свойство \(a^{m} : a^{n} = a^{m - n}\).
Правилу «чтобы возвести степень в степень, надо перемножить показатели степеней» отвечает свойство \((a^{m})^{n} = a^{mn}\); вместе с ним в том же примере применено и правило умножения степеней с одинаковыми основаниями.
б) Показатели складываем, вычитаем и перемножаем по этим же свойствам:
\[a^{15} \cdot a^{-12} = a^{15 + (-12)} = a^{3}; \qquad a^{7} \cdot a^{-7} = a^{7 + (-7)} = a^{0} = 1;\]
\[\frac{a^{-6}}{a^{-2}} = a^{-6 - (-2)} = a^{-4}; \qquad (a^{-3})^{3} = a^{-3 \cdot 3} = a^{-9}.\]
Ответ: а) правилу умножения степеней с одинаковыми основаниями отвечает свойство \(a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}\), правилу деления — свойство \(a^{m} : a^{n} = a^{m - n}\), правилу возведения степени в степень — свойство \((a^{m})^{n} = a^{mn}\); б) \(a^{15} \cdot a^{-12} = a^{3}\); \(a^{7} \cdot a^{-7} = a^{0} = 1\); \(\frac{a^{-6}}{a^{-2}} = a^{-4}\); \((a^{-3})^{3} = a^{-9}\).
Свойства \(a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}\) и \(a^{m} : a^{n} = a^{m - n}\) говорят о степенях с одинаковыми основаниями: складывать и вычитать показатели можно только тогда, когда основания степеней совпадают.
1) Основания одинаковые, показатели складываются: \(a^{-7} \cdot a^{12} = a^{-7 + 12} = a^{5}\).
2) Основания разные — \(m\) и \(n\), поэтому показатели складывать нельзя и произведение \(m^{6} \cdot n^{-9}\) упростить не удаётся.
3) Основания разные — \(x\) и \(y\), поэтому вычитать показатели нельзя и дробь \(\frac{x^{10}}{y^{5}}\) упростить не удаётся.
4) Основания одинаковые, показатели вычитаются: \(\frac{b^{5}}{b^{10}} = b^{5 - 10} = b^{-5}\).
Ответ: нельзя упростить выражения 2) \(m^{6} \cdot n^{-9}\) и 3) \(\frac{x^{10}}{y^{5}}\), потому что в них основания степеней разные, а свойства степени с целым показателем относятся к степеням с одинаковыми основаниями; выражения 1) и 4) упрощаются: \(a^{-7} \cdot a^{12} = a^{5}\) и \(\frac{b^{5}}{b^{10}} = b^{-5}\).
