Страница 99 номер 3, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
Сравнить дисперсии двух выборок, имеющих одинаковые средние значения: 1) 6, 10, 7, 8, 9 и 8, 9, 5, 10; 2) 5, 12, 7, 8, 18 и 17, 6, 11, 7, 9, 10.
Средние значения выборок обозначим \(\overline{X}_{1}\) и \(\overline{X}_{2}\), дисперсии — \(D_{1}\) и \(D_{2}\); сумму квадратов отклонений каждой выборки делим на её объём.
1) Средние значения: \(\overline{X}_{1} = \frac{6 + 10 + 7 + 8 + 9}{5} = \frac{40}{5} = 8\), \(\overline{X}_{2} = \frac{8 + 9 + 5 + 10}{4} = \frac{32}{4} = 8\). Отклонения от среднего у первой выборки равны \(-2\), \(2\), \(-1\), \(0\), \(1\), у второй — \(0\), \(1\), \(-3\), \(2\), поэтому \[\begin{aligned} D_{1} &= \frac{(-2)^{2} + 2^{2} + (-1)^{2} + 0^{2} + 1^{2}}{5} = \frac{10}{5} = 2; \\ D_{2} &= \frac{0^{2} + 1^{2} + (-3)^{2} + 2^{2}}{4} = \frac{14}{4} = 3{,}5. \end{aligned}\]
Значит, \(D_{1} < D_{2}\): значения первой выборки рассеяны около среднего меньше.
2) Средние значения: \(\overline{X}_{1} = \frac{5 + 12 + 7 + 8 + 18}{5} = \frac{50}{5} = 10\), \(\overline{X}_{2} = \frac{17 + 6 + 11 + 7 + 9 + 10}{6} = \frac{60}{6} = 10\). Отклонения от среднего у первой выборки равны \(-5\), \(2\), \(-3\), \(-2\), \(8\), у второй — \(7\), \(-4\), \(1\), \(-3\), \(-1\), \(0\), поэтому \[\begin{aligned} D_{1} &= \frac{(-5)^{2} + 2^{2} + (-3)^{2} + (-2)^{2} + 8^{2}}{5} = \frac{106}{5} = 21{,}2; \\ D_{2} &= \frac{7^{2} + (-4)^{2} + 1^{2} + (-3)^{2} + (-1)^{2} + 0^{2}}{6} = {} \\ &= \frac{76}{6} = \frac{38}{3} \approx 12{,}7. \end{aligned}\]
Значит, \(D_{1} > D_{2}\): значения первой выборки рассеяны около среднего больше.
Ответ: 1) \(D_{1} < D_{2}\) (\(D_{1} = 2\), \(D_{2} = 3{,}5\)); 2) \(D_{1} > D_{2}\) (\(D_{1} = 21{,}2\), \(D_{2} = \frac{38}{3} \approx 12{,}7\)).
Сравнить дисперсии двух выборок, имеющих одинаковые средние значения: 1) 6, 10, 7, 8, 9 и 8, 9, 5, 10; 2) 5, 12, 7, 8, 18 и 17, 6, 11, 7, 9, 10.
Дисперсия — среднее арифметическое квадратов отклонений значений от среднего: сумму квадратов отклонений каждой выборки делим на её объём. Средние значения выборок обозначим \(\overline{X}_{1}\) и \(\overline{X}_{2}\), дисперсии — \(D_{1}\) и \(D_{2}\).
1) Средние значения: \(\overline{X}_{1} = \frac{6 + 10 + 7 + 8 + 9}{5} = \frac{40}{5} = 8\), \(\overline{X}_{2} = \frac{8 + 9 + 5 + 10}{4} = \frac{32}{4} = 8\). Отклонения от среднего у первой выборки равны \(-2\), \(2\), \(-1\), \(0\), \(1\), у второй — \(0\), \(1\), \(-3\), \(2\), поэтому \[\begin{aligned} D_{1} &= \frac{(-2)^{2} + 2^{2} + (-1)^{2} + 0^{2} + 1^{2}}{5} = \frac{10}{5} = 2; \\ D_{2} &= \frac{0^{2} + 1^{2} + (-3)^{2} + 2^{2}}{4} = \frac{14}{4} = 3{,}5. \end{aligned}\]
Значит, \(D_{1} < D_{2}\): значения первой выборки рассеяны около среднего меньше.
2) Средние значения: \(\overline{X}_{1} = \frac{5 + 12 + 7 + 8 + 18}{5} = \frac{50}{5} = 10\), \(\overline{X}_{2} = \frac{17 + 6 + 11 + 7 + 9 + 10}{6} = \frac{60}{6} = 10\). Отклонения от среднего у первой выборки равны \(-5\), \(2\), \(-3\), \(-2\), \(8\), у второй — \(7\), \(-4\), \(1\), \(-3\), \(-1\), \(0\), поэтому \[\begin{aligned} D_{1} &= \frac{(-5)^{2} + 2^{2} + (-3)^{2} + (-2)^{2} + 8^{2}}{5} = \frac{106}{5} = 21{,}2; \\ D_{2} &= \frac{7^{2} + (-4)^{2} + 1^{2} + (-3)^{2} + (-1)^{2} + 0^{2}}{6} = {} \\ &= \frac{76}{6} = \frac{38}{3} \approx 12{,}7. \end{aligned}\]
Значит, \(D_{1} > D_{2}\): значения первой выборки рассеяны около среднего больше.
Ответ: 1) \(D_{1} < D_{2}\) (\(D_{1} = 2\), \(D_{2} = 3{,}5\)); 2) \(D_{1} > D_{2}\) (\(D_{1} = 21{,}2\), \(D_{2} = \frac{38}{3} \approx 12{,}7\)).
