Страница 100 номер 4, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
Сравнить дисперсии выборок, имеющих разные средние значения: 1) 4, 6, 8, 9, 8 и 6, 8, 10, 12, 9; 2) 6, 3, 4, 8, 9 и 2, 6, 3, 7, 5, 7.
Средние значения выборок обозначим \(\overline{X}_{1}\) и \(\overline{X}_{2}\), дисперсии — \(D_{1}\) и \(D_{2}\); отклонения считаем у каждой выборки от её собственного среднего, а сумму квадратов отклонений делим на объём этой выборки.
1) Средние значения: \(\overline{X}_{1} = \frac{4 + 6 + 8 + 9 + 8}{5} = \frac{35}{5} = 7\), \(\overline{X}_{2} = \frac{6 + 8 + 10 + 12 + 9}{5} = \frac{45}{5} = 9\). Отклонения от среднего у первой выборки равны \(-3\), \(-1\), \(1\), \(2\), \(1\), у второй — \(-3\), \(-1\), \(1\), \(3\), \(0\), поэтому \[\begin{aligned} D_{1} &= \frac{(-3)^{2} + (-1)^{2} + 1^{2} + 2^{2} + 1^{2}}{5} = \frac{16}{5} = 3{,}2; \\ D_{2} &= \frac{(-3)^{2} + (-1)^{2} + 1^{2} + 3^{2} + 0^{2}}{5} = \frac{20}{5} = 4. \end{aligned}\]
Значит, \(D_{1} < D_{2}\).
2) Средние значения: \(\overline{X}_{1} = \frac{6 + 3 + 4 + 8 + 9}{5} = \frac{30}{5} = 6\), \(\overline{X}_{2} = \frac{2 + 6 + 3 + 7 + 5 + 7}{6} = \frac{30}{6} = 5\). Отклонения от среднего у первой выборки равны \(0\), \(-3\), \(-2\), \(2\), \(3\), у второй — \(-3\), \(1\), \(-2\), \(2\), \(0\), \(2\), поэтому \[\begin{aligned} D_{1} &= \frac{0^{2} + (-3)^{2} + (-2)^{2} + 2^{2} + 3^{2}}{5} = \frac{26}{5} = 5{,}2; \\ D_{2} &= \frac{(-3)^{2} + 1^{2} + (-2)^{2} + 2^{2} + 0^{2} + 2^{2}}{6} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3} \approx 3{,}7. \end{aligned}\]
Значит, \(D_{1} > D_{2}\).
Ответ: 1) \(D_{1} < D_{2}\) (\(D_{1} = 3{,}2\), \(D_{2} = 4\)); 2) \(D_{1} > D_{2}\) (\(D_{1} = 5{,}2\), \(D_{2} = \frac{11}{3} \approx 3{,}7\)).
Сравнить дисперсии выборок, имеющих разные средние значения: 1) 4, 6, 8, 9, 8 и 6, 8, 10, 12, 9; 2) 6, 3, 4, 8, 9 и 2, 6, 3, 7, 5, 7.
Средние значения выборок разные, поэтому отклонения считаем у каждой выборки от её собственного среднего, а сумму квадратов отклонений делим на объём этой выборки. Средние значения обозначим \(\overline{X}_{1}\) и \(\overline{X}_{2}\), дисперсии — \(D_{1}\) и \(D_{2}\).
1) Средние значения: \(\overline{X}_{1} = \frac{4 + 6 + 8 + 9 + 8}{5} = \frac{35}{5} = 7\), \(\overline{X}_{2} = \frac{6 + 8 + 10 + 12 + 9}{5} = \frac{45}{5} = 9\). Отклонения от среднего у первой выборки равны \(-3\), \(-1\), \(1\), \(2\), \(1\), у второй — \(-3\), \(-1\), \(1\), \(3\), \(0\), поэтому \[\begin{aligned} D_{1} &= \frac{(-3)^{2} + (-1)^{2} + 1^{2} + 2^{2} + 1^{2}}{5} = \frac{16}{5} = 3{,}2; \\ D_{2} &= \frac{(-3)^{2} + (-1)^{2} + 1^{2} + 3^{2} + 0^{2}}{5} = \frac{20}{5} = 4. \end{aligned}\]
Значит, \(D_{1} < D_{2}\).
2) Средние значения: \(\overline{X}_{1} = \frac{6 + 3 + 4 + 8 + 9}{5} = \frac{30}{5} = 6\), \(\overline{X}_{2} = \frac{2 + 6 + 3 + 7 + 5 + 7}{6} = \frac{30}{6} = 5\). Отклонения от среднего у первой выборки равны \(0\), \(-3\), \(-2\), \(2\), \(3\), у второй — \(-3\), \(1\), \(-2\), \(2\), \(0\), \(2\), поэтому \[\begin{aligned} D_{1} &= \frac{0^{2} + (-3)^{2} + (-2)^{2} + 2^{2} + 3^{2}}{5} = \frac{26}{5} = 5{,}2; \\ D_{2} &= \frac{(-3)^{2} + 1^{2} + (-2)^{2} + 2^{2} + 0^{2} + 2^{2}}{6} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3} \approx 3{,}7. \end{aligned}\]
Значит, \(D_{1} > D_{2}\).
Ответ: 1) \(D_{1} < D_{2}\) (\(D_{1} = 3{,}2\), \(D_{2} = 4\)); 2) \(D_{1} > D_{2}\) (\(D_{1} = 5{,}2\), \(D_{2} = \frac{11}{3} \approx 3{,}7\)).
