Страница 99 номер 2, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
Найти дисперсию совокупности значений случайной величины \(X\), заданной частотным распределением: 1) \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 2 & 3 & 4 & 6 \\ \hline M & 3 & 2 & 2 & 3 \\ \hline \end{array}\] 2) \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline X & -1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline M & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Значения повторяются, поэтому и сумму произведений значений на частоты, и сумму произведений квадратов отклонений на частоты делим на \(\Sigma M\), т. е. на число всех значений, а не различных.
1) Число всех значений \(\Sigma M = 3 + 2 + 2 + 3 = 10\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 2 & 3 & 4 & 6 \\ \hline M & 3 & 2 & 2 & 3 \\ \hline X \cdot M & 6 & 6 & 8 & 18 \\ \hline X - \overline{X} & -1{,}8 & -0{,}8 & 0{,}2 & 2{,}2 \\ \hline (X - \overline{X})^{2} & 3{,}24 & 0{,}64 & 0{,}04 & 4{,}84 \\ \hline (X - \overline{X})^{2} \cdot M & 9{,}72 & 1{,}28 & 0{,}08 & 14{,}52 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{aligned} \overline{X} &= \frac{6 + 6 + 8 + 18}{10} = \frac{38}{10} = 3{,}8; \\ D &= \frac{9{,}72 + 1{,}28 + 0{,}08 + 14{,}52}{10} = \frac{25{,}6}{10} = 2{,}56. \end{aligned}\]
2) Число всех значений \(\Sigma M = 3 + 1 + 2 + 3 + 1 = 10\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline X & -1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline M & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ \hline X \cdot M & -3 & 2 & 6 & 12 & 5 \\ \hline X - \overline{X} & -3{,}2 & -0{,}2 & 0{,}8 & 1{,}8 & 2{,}8 \\ \hline (X - \overline{X})^{2} & 10{,}24 & 0{,}04 & 0{,}64 & 3{,}24 & 7{,}84 \\ \hline (X - \overline{X})^{2} \cdot M & 30{,}72 & 0{,}04 & 1{,}28 & 9{,}72 & 7{,}84 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{aligned} \overline{X} &= \frac{-3 + 2 + 6 + 12 + 5}{10} = \frac{22}{10} = 2{,}2; \\ D &= \frac{30{,}72 + 0{,}04 + 1{,}28 + 9{,}72 + 7{,}84}{10} = \frac{49{,}6}{10} = 4{,}96. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(D = 2{,}56\); 2) \(D = 4{,}96\).
Найти дисперсию совокупности значений случайной величины \(X\), заданной частотным распределением: 1) \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 2 & 3 & 4 & 6 \\ \hline M & 3 & 2 & 2 & 3 \\ \hline \end{array}\] 2) \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline X & -1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline M & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Значения величины повторяются, поэтому среднее находим по таблице частот: сумму произведений значений на их частоты делим на сумму частот \(\Sigma M\). Дисперсия — сумма произведений квадратов отклонений от среднего на частоты, делённая на \(\Sigma M\), т. е. на число всех значений, а не различных. Результаты последовательных вычислений будем заносить в таблицу.
1) Число всех значений \(\Sigma M = 3 + 2 + 2 + 3 = 10\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 2 & 3 & 4 & 6 \\ \hline M & 3 & 2 & 2 & 3 \\ \hline X \cdot M & 6 & 6 & 8 & 18 \\ \hline X - \overline{X} & -1{,}8 & -0{,}8 & 0{,}2 & 2{,}2 \\ \hline (X - \overline{X})^{2} & 3{,}24 & 0{,}64 & 0{,}04 & 4{,}84 \\ \hline (X - \overline{X})^{2} \cdot M & 9{,}72 & 1{,}28 & 0{,}08 & 14{,}52 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{aligned} \overline{X} &= \frac{6 + 6 + 8 + 18}{10} = \frac{38}{10} = 3{,}8; \\ D &= \frac{9{,}72 + 1{,}28 + 0{,}08 + 14{,}52}{10} = \frac{25{,}6}{10} = 2{,}56. \end{aligned}\]
2) Число всех значений \(\Sigma M = 3 + 1 + 2 + 3 + 1 = 10\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline X & -1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline M & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ \hline X \cdot M & -3 & 2 & 6 & 12 & 5 \\ \hline X - \overline{X} & -3{,}2 & -0{,}2 & 0{,}8 & 1{,}8 & 2{,}8 \\ \hline (X - \overline{X})^{2} & 10{,}24 & 0{,}04 & 0{,}64 & 3{,}24 & 7{,}84 \\ \hline (X - \overline{X})^{2} \cdot M & 30{,}72 & 0{,}04 & 1{,}28 & 9{,}72 & 7{,}84 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{aligned} \overline{X} &= \frac{-3 + 2 + 6 + 12 + 5}{10} = \frac{22}{10} = 2{,}2; \\ D &= \frac{30{,}72 + 0{,}04 + 1{,}28 + 9{,}72 + 7{,}84}{10} = \frac{49{,}6}{10} = 4{,}96. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(D = 2{,}56\); 2) \(D = 4{,}96\).
