Страница 95 номер 2, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
Практическая работа. На основании опроса 50 случайным образом выбранных старшеклассников школы составить таблицу и полигон частот: 1) времени (в мин), затрачиваемого на дорогу от дома до школы; 2) роста (в см) — отдельно для девочек и мальчиков. Убедиться в близости распределения частот рассматриваемых величин к нормальному. Найти среднее значение совокупности значений изучаемой случайной величины.
Возьмём для примера такие результаты опроса: опрошены 25 девочек и 25 мальчиков; время на дорогу от дома до школы (округлено до 5 мин) — 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 мин с частотами 2, 6, 11, 14, 10, 5, 2; рост девочек (округлён до 5 см) — 150, 155, 160, 165, 170, 175 см с частотами 1, 3, 6, 8, 5, 2; рост мальчиков — 165, 170, 175, 180, 185, 190 см с частотами 1, 3, 7, 8, 4, 2.
1) Таблица распределения времени на дорогу \(X\) (в мин) по частотам \(M\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 & 30 & 35 \\ \hline M & 2 & 6 & 11 & 14 & 10 & 5 & 2 \\ \hline \end{array}\]
Проверка: \(\Sigma M = 2 + 6 + 11 + 14 + 10 + 5 + 2 = 50\).
Полигон частот:
Полигон имеет одну вершину — над значением 20 мин, в середине ряда значений, и от неё частоты убывают в обе стороны почти симметрично: 11 и 10, 6 и 5, 2 и 2. Значит, распределение частот близко к нормальному.
Сумма произведений значений на их частоты \(5 \cdot 2 + 10 \cdot 6 + 15 \cdot 11 + 20 \cdot 14 + 25 \cdot 10 + 30 \cdot 5 + 35 \cdot 2 = 985\), поэтому среднее значение \(\overline{X} = \frac{985}{50} = 19{,}7\,\text{мин}\).
Мода \(Mo = 20\,\text{мин}\) (наибольшая частота 14).
Медиана — среднее арифметическое 25-го и 26-го членов упорядоченного ряда из 50 значений: значений, меньших 20, в ряду \(2 + 6 + 11 = 19\), а с 20-го по 33-й члены равны 20, поэтому \(Me = 20\,\text{мин}\).
Среднее близко к моде и медиане, что подтверждает почти симметричный вид распределения.
2) Таблица распределения роста девочек \(X\) (в см) по частотам \(M\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 150 & 155 & 160 & 165 & 170 & 175 \\ \hline M & 1 & 3 & 6 & 8 & 5 & 2 \\ \hline \end{array}\]
Проверка: \(\Sigma M = 1 + 3 + 6 + 8 + 5 + 2 = 25\).
Полигон частот:
Полигон имеет одну вершину — над значением 165 см, и от неё частоты убывают в обе стороны почти симметрично: слева 6, 3, 1, справа 5, 2. Значит, распределение частот близко к нормальному.
Сумма произведений значений на их частоты \(150 \cdot 1 + 155 \cdot 3 + 160 \cdot 6 + 165 \cdot 8 + 170 \cdot 5 + 175 \cdot 2 = 4095\), поэтому среднее значение \(\overline{X} = \frac{4095}{25} = 163{,}8\,\text{см}\).
Мода \(Mo = 165\,\text{см}\) (наибольшая частота 8).
Медиана — 13-й член упорядоченного ряда из 25 значений: значений, меньших 165, в ряду \(1 + 3 + 6 = 10\), а с 11-го по 18-й члены равны 165, поэтому \(Me = 165\,\text{см}\).
Среднее близко к моде и медиане.
Таблица распределения роста мальчиков \(Y\) (в см) по частотам \(M\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline Y & 165 & 170 & 175 & 180 & 185 & 190 \\ \hline M & 1 & 3 & 7 & 8 & 4 & 2 \\ \hline \end{array}\]
Проверка: \(\Sigma M = 1 + 3 + 7 + 8 + 4 + 2 = 25\).
Полигон частот:
Полигон имеет одну вершину — над значением 180 см, и от середины ряда значений частоты убывают в обе стороны почти симметрично: у значений, одинаково удалённых от середины, — 175 и 180, 170 и 185, 165 и 190 см — частоты 7 и 8, 3 и 4, 1 и 2. Значит, и это распределение частот близко к нормальному.
Сумма произведений значений на их частоты \(165 \cdot 1 + 170 \cdot 3 + 175 \cdot 7 + 180 \cdot 8 + 185 \cdot 4 + 190 \cdot 2 = 4460\), поэтому среднее значение \(\overline{Y} = \frac{4460}{25} = 178{,}4\,\text{см}\).
Мода \(Mo = 180\,\text{см}\) (наибольшая частота 8).
Медиана — 13-й член упорядоченного ряда: значений, меньших 180, в ряду \(1 + 3 + 7 = 11\), а с 12-го по 19-й члены равны 180, поэтому \(Me = 180\,\text{см}\).
Среднее близко к моде и медиане.
Ответ: для взятого набора распределения всех трёх величин близки к нормальному; средние значения: 1) время на дорогу \(\overline{X} = 19{,}7\,\text{мин}\); 2) рост девочек \(\overline{X} = 163{,}8\,\text{см}\), рост мальчиков \(\overline{Y} = 178{,}4\,\text{см}\).
Практическая работа. На основании опроса 50 случайным образом выбранных старшеклассников школы составить таблицу и полигон частот: 1) времени (в мин), затрачиваемого на дорогу от дома до школы; 2) роста (в см) — отдельно для девочек и мальчиков. Убедиться в близости распределения частот рассматриваемых величин к нормальному. Найти среднее значение совокупности значений изучаемой случайной величины.
Возьмём для примера такие результаты опроса: опрошены 25 девочек и 25 мальчиков; время на дорогу от дома до школы (округлено до 5 мин) — 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 мин с частотами 2, 6, 11, 14, 10, 5, 2; рост девочек (округлён до 5 см) — 150, 155, 160, 165, 170, 175 см с частотами 1, 3, 6, 8, 5, 2; рост мальчиков — 165, 170, 175, 180, 185, 190 см с частотами 1, 3, 7, 8, 4, 2.
1) Случайная величина \(X\) — время на дорогу (в мин). Таблица распределения её значений по частотам \(M\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 & 30 & 35 \\ \hline M & 2 & 6 & 11 & 14 & 10 & 5 & 2 \\ \hline \end{array}\]
Проверка: \(\Sigma M = 2 + 6 + 11 + 14 + 10 + 5 + 2 = 50\).
Построим полигон частот — отметим точки \((X; M)\) и последовательно соединим их отрезками:
Полигон имеет одну вершину — над значением 20 мин, в середине ряда значений, и от неё частоты убывают в обе стороны почти симметрично: 11 и 10, 6 и 5, 2 и 2. Значит, распределение частот близко к нормальному.
Сумма произведений значений на их частоты \(5 \cdot 2 + 10 \cdot 6 + 15 \cdot 11 + 20 \cdot 14 + 25 \cdot 10 + 30 \cdot 5 + 35 \cdot 2 = 985\), поэтому среднее значение \(\overline{X} = \frac{985}{50} = 19{,}7\,\text{мин}\). Мода \(Mo = 20\,\text{мин}\) (наибольшая частота 14). Медиана — среднее арифметическое 25-го и 26-го членов упорядоченного ряда из 50 значений: значений, меньших 20, в ряду \(2 + 6 + 11 = 19\), а с 20-го по 33-й члены равны 20, поэтому \(Me = 20\,\text{мин}\). Среднее близко к моде и медиане, что подтверждает почти симметричный вид распределения.
2) Случайная величина \(X\) — рост девочек (в см). Таблица распределения её значений по частотам \(M\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 150 & 155 & 160 & 165 & 170 & 175 \\ \hline M & 1 & 3 & 6 & 8 & 5 & 2 \\ \hline \end{array}\]
Проверка: \(\Sigma M = 1 + 3 + 6 + 8 + 5 + 2 = 25\).
Построим полигон частот:
Полигон имеет одну вершину — над значением 165 см, и от неё частоты убывают в обе стороны почти симметрично: слева 6, 3, 1, справа 5, 2. Значит, распределение частот близко к нормальному.
Сумма произведений значений на их частоты \(150 \cdot 1 + 155 \cdot 3 + 160 \cdot 6 + 165 \cdot 8 + 170 \cdot 5 + 175 \cdot 2 = 4095\), поэтому среднее значение \(\overline{X} = \frac{4095}{25} = 163{,}8\,\text{см}\). Мода \(Mo = 165\,\text{см}\) (наибольшая частота 8). Медиана — 13-й член упорядоченного ряда из 25 значений: значений, меньших 165, в ряду \(1 + 3 + 6 = 10\), а с 11-го по 18-й члены равны 165, поэтому \(Me = 165\,\text{см}\). Среднее близко к моде и медиане.
Случайная величина \(Y\) — рост мальчиков (в см). Таблица распределения её значений по частотам \(M\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline Y & 165 & 170 & 175 & 180 & 185 & 190 \\ \hline M & 1 & 3 & 7 & 8 & 4 & 2 \\ \hline \end{array}\]
Проверка: \(\Sigma M = 1 + 3 + 7 + 8 + 4 + 2 = 25\).
Построим полигон частот:
Полигон имеет одну вершину — над значением 180 см, и от середины ряда значений частоты убывают в обе стороны почти симметрично: у значений, одинаково удалённых от середины, — 175 и 180, 170 и 185, 165 и 190 см — частоты 7 и 8, 3 и 4, 1 и 2. Значит, и это распределение частот близко к нормальному.
Сумма произведений значений на их частоты \(165 \cdot 1 + 170 \cdot 3 + 175 \cdot 7 + 180 \cdot 8 + 185 \cdot 4 + 190 \cdot 2 = 4460\), поэтому среднее значение \(\overline{Y} = \frac{4460}{25} = 178{,}4\,\text{см}\). Мода \(Mo = 180\,\text{см}\) (наибольшая частота 8). Медиана — 13-й член упорядоченного ряда: значений, меньших 180, в ряду \(1 + 3 + 7 = 11\), а с 12-го по 19-й члены равны 180, поэтому \(Me = 180\,\text{см}\). Среднее близко к моде и медиане.
Ответ: для взятого набора распределения всех трёх величин близки к нормальному; средние значения: 1) время на дорогу \(\overline{X} = 19{,}7\,\text{мин}\); 2) рост девочек \(\overline{X} = 163{,}8\,\text{см}\), рост мальчиков \(\overline{Y} = 178{,}4\,\text{см}\).
