Страница 95 номер 1, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
Построить полигон частот: 1) размеров женской обуви (см. таблицу слева); 2) размеров мужской обуви (см. таблицу справа). Убедиться в том, что распределение частот близко к нормальному распределению. Провести на основании полигона кривую нормального распределения и перечислить её свойства. Найти среднее значение выборки. \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Размеры женской обуви} & & & & & \\ \hline 22{,}5 & 24 & 23{,}5 & 23 & 24{,}5 & 23 \\ \hline 23{,}5 & 24{,}5 & 22{,}5 & 23{,}5 & 25{,}5 & 25 \\ \hline 25{,}5 & 22 & 24 & 25 & 23{,}5 & 21 \\ \hline 23 & 24{,}5 & 23 & 24{,}5 & 23 & 24 \\ \hline 25 & 24 & 21{,}5 & 23{,}5 & 24{,}5 & 22{,}5 \\ \hline 22 & 23{,}5 & 26{,}5 & 23{,}5 & 25 & 26 \\ \hline 24{,}5 & 23 & 24 & 24{,}5 & 22{,}5 & 24 \\ \hline 23{,}5 & 24 & 23 & 25 & 24 & 22 \\ \hline 25{,}5 & 21{,}5 & 24{,}5 & 26 & 25{,}5 & 23{,}5 \\ \hline 22{,}5 & 24 & 23 & 22{,}5 & 24 & 25 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Размеры мужской обуви} & & & & & \\ \hline 26 & 28{,}5 & 27{,}5 & 29{,}5 & 26{,}5 & 30{,}5 \\ \hline 27{,}5 & 27 & 29 & 27 & 28{,}5 & 27{,}5 \\ \hline 28 & 25 & 26 & 28 & 30 & 27 \\ \hline 26{,}5 & 27{,}5 & 28 & 29{,}5 & 26{,}5 & 29 \\ \hline 28 & 29 & 27 & 26{,}5 & 28{,}5 & 27{,}5 \\ \hline 27{,}5 & 28 & 28 & 25{,}5 & 29 & 28 \\ \hline 26{,}5 & 27{,}5 & 29{,}5 & 27{,}5 & 26 & 30 \\ \hline 29{,}5 & 25{,}5 & 27 & 28{,}5 & 28 & 27 \\ \hline 27 & 28{,}5 & 29 & 26 & 26{,}5 & 28{,}5 \\ \hline 28 & 27{,}5 & 28{,}5 & 27{,}5 & 29 & 27 \\ \hline \end{array}\]
1) Распределение величины \(X\) — размера женской обуви — по частотам \(M\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 21 & 21{,}5 & 22 & 22{,}5 & 23 & 23{,}5 \\ \hline M & 1 & 2 & 3 & 6 & 8 & 9 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 24 & 24{,}5 & 25 & 25{,}5 & 26 & 26{,}5 \\ \hline M & 10 & 8 & 6 & 4 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Проверка: \(\Sigma M = 1 + 2 + 3 + 6 + 8 + 9 + 10 + 8 + 6 + 4 + 2 + 1 = 60\) — столько размеров в таблице условия (\(10 \cdot 6 = 60\)).
Полигон частот и плавная кривая, близкая к его точкам:
Полигон имеет одну вершину — над размером 24, в середине ряда размеров, и от неё частоты убывают в обе стороны почти симметрично: слева 9, 8, 6, 3, 2, 1, справа 8, 6, 4, 2, 1. Значит, распределение частот близко к нормальному, а проведённая кривая — кривая нормального распределения.
Сумма произведений размеров на их частоты \(21 \cdot 1 + 21{,}5 \cdot 2 + 22 \cdot 3 + 22{,}5 \cdot 6 + 23 \cdot 8 + 23{,}5 \cdot 9 + 24 \cdot 10 + 24{,}5 \cdot 8 + 25 \cdot 6 + 25{,}5 \cdot 4 + 26 \cdot 2 + 26{,}5 \cdot 1 = 1427\), поэтому среднее значение выборки \(\overline{X} = \frac{1427}{60} \approx 23{,}8\).
Мода \(Mo = 24\) (наибольшая частота 10).
Медиана — среднее арифметическое 30-го и 31-го членов упорядоченного ряда из 60 размеров: членов, меньших 24, в ряду \(1 + 2 + 3 + 6 + 8 + 9 = 29\), а с 30-го по 39-й члены равны 24, поэтому \(Me = \frac{24 + 24}{2} = 24\).
Среднее, мода и медиана почти совпадают — это подтверждает почти симметричный вид распределения.
Свойства кривой нормального распределения: она симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через среднее значение \(\overline{X} \approx 23{,}8\); наивысшая точка у неё одна — над средним значением; по обе стороны от этой точки кривая опускается к оси \(X\): размеры, далёкие от среднего, встречаются редко.
2) Распределение величины \(Y\) — размера мужской обуви — по частотам \(M\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline Y & 25 & 25{,}5 & 26 & 26{,}5 & 27 & 27{,}5 \\ \hline M & 1 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline Y & 28 & 28{,}5 & 29 & 29{,}5 & 30 & 30{,}5 \\ \hline M & 9 & 7 & 6 & 4 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Проверка: \(\Sigma M = 1 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 9 + 7 + 6 + 4 + 2 + 1 = 60\).
Полигон частот и плавная кривая, близкая к его точкам:
Полигон имеет одну вершину — над размером 27,5, в середине ряда размеров, и от неё частоты убывают в обе стороны почти симметрично: слева 8, 6, 4, 2, 1, справа 9, 7, 6, 4, 2, 1. Значит, и это распределение частот близко к нормальному, а проведённая кривая — кривая нормального распределения.
Сумма произведений размеров на их частоты \(25 \cdot 1 + 25{,}5 \cdot 2 + 26 \cdot 4 + 26{,}5 \cdot 6 + 27 \cdot 8 + 27{,}5 \cdot 10 + 28 \cdot 9 + 28{,}5 \cdot 7 + 29 \cdot 6 + 29{,}5 \cdot 4 + 30 \cdot 2 + 30{,}5 \cdot 1 = 1664\), поэтому среднее значение выборки \(\overline{Y} = \frac{1664}{60} \approx 27{,}7\).
Мода \(Mo = 27{,}5\) (наибольшая частота 10).
Медиана — среднее арифметическое 30-го и 31-го членов упорядоченного ряда: членов, меньших 27,5, в ряду \(1 + 2 + 4 + 6 + 8 = 21\), а с 22-го по 31-й члены равны 27,5, поэтому \(Me = \frac{27{,}5 + 27{,}5}{2} = 27{,}5\).
Среднее, мода и медиана и здесь почти совпадают.
Свойства этой кривой те же: она симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через среднее значение \(\overline{Y} \approx 27{,}7\); наивысшая точка у неё одна — над средним значением; по обе стороны от этой точки кривая опускается к оси \(Y\).
Ответ: 1) распределение близко к нормальному, \(\overline{X} = \frac{1427}{60} \approx 23{,}8\); 2) распределение близко к нормальному, \(\overline{Y} = \frac{1664}{60} \approx 27{,}7\). Кривая нормального распределения симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через среднее значение, имеет одну наивысшую точку — над средним значением — и по обе стороны от неё опускается к оси.
Построить полигон частот: 1) размеров женской обуви (см. таблицу слева); 2) размеров мужской обуви (см. таблицу справа). Убедиться в том, что распределение частот близко к нормальному распределению. Провести на основании полигона кривую нормального распределения и перечислить её свойства. Найти среднее значение выборки. \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Размеры женской обуви} & & & & & \\ \hline 22{,}5 & 24 & 23{,}5 & 23 & 24{,}5 & 23 \\ \hline 23{,}5 & 24{,}5 & 22{,}5 & 23{,}5 & 25{,}5 & 25 \\ \hline 25{,}5 & 22 & 24 & 25 & 23{,}5 & 21 \\ \hline 23 & 24{,}5 & 23 & 24{,}5 & 23 & 24 \\ \hline 25 & 24 & 21{,}5 & 23{,}5 & 24{,}5 & 22{,}5 \\ \hline 22 & 23{,}5 & 26{,}5 & 23{,}5 & 25 & 26 \\ \hline 24{,}5 & 23 & 24 & 24{,}5 & 22{,}5 & 24 \\ \hline 23{,}5 & 24 & 23 & 25 & 24 & 22 \\ \hline 25{,}5 & 21{,}5 & 24{,}5 & 26 & 25{,}5 & 23{,}5 \\ \hline 22{,}5 & 24 & 23 & 22{,}5 & 24 & 25 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Размеры мужской обуви} & & & & & \\ \hline 26 & 28{,}5 & 27{,}5 & 29{,}5 & 26{,}5 & 30{,}5 \\ \hline 27{,}5 & 27 & 29 & 27 & 28{,}5 & 27{,}5 \\ \hline 28 & 25 & 26 & 28 & 30 & 27 \\ \hline 26{,}5 & 27{,}5 & 28 & 29{,}5 & 26{,}5 & 29 \\ \hline 28 & 29 & 27 & 26{,}5 & 28{,}5 & 27{,}5 \\ \hline 27{,}5 & 28 & 28 & 25{,}5 & 29 & 28 \\ \hline 26{,}5 & 27{,}5 & 29{,}5 & 27{,}5 & 26 & 30 \\ \hline 29{,}5 & 25{,}5 & 27 & 28{,}5 & 28 & 27 \\ \hline 27 & 28{,}5 & 29 & 26 & 26{,}5 & 28{,}5 \\ \hline 28 & 27{,}5 & 28{,}5 & 27{,}5 & 29 & 27 \\ \hline \end{array}\]
1) Подсчитаем, сколько раз в таблице условия встречается каждый размер женской обуви, и запишем распределение величины \(X\) — размера женской обуви — по частотам \(M\) (размеры — в порядке возрастания, таблица разбита на две части):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 21 & 21{,}5 & 22 & 22{,}5 & 23 & 23{,}5 \\ \hline M & 1 & 2 & 3 & 6 & 8 & 9 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 24 & 24{,}5 & 25 & 25{,}5 & 26 & 26{,}5 \\ \hline M & 10 & 8 & 6 & 4 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Проверка: \(\Sigma M = 1 + 2 + 3 + 6 + 8 + 9 + 10 + 8 + 6 + 4 + 2 + 1 = 60\) — столько размеров в таблице условия (\(10 \cdot 6 = 60\)).
Построим полигон частот — отметим точки \((X; M)\) и последовательно соединим их отрезками — и проведём плавную кривую, близкую к точкам полигона:
Полигон имеет одну вершину — над размером 24, в середине ряда размеров, и от неё частоты убывают в обе стороны почти симметрично: слева 9, 8, 6, 3, 2, 1, справа 8, 6, 4, 2, 1. Значит, распределение частот близко к нормальному, а проведённая кривая — кривая нормального распределения.
Среднее значение выборки найдём по таблице частот. Сумма произведений размеров на их частоты \(21 \cdot 1 + 21{,}5 \cdot 2 + 22 \cdot 3 + 22{,}5 \cdot 6 + 23 \cdot 8 + 23{,}5 \cdot 9 + 24 \cdot 10 + 24{,}5 \cdot 8 + 25 \cdot 6 + 25{,}5 \cdot 4 + 26 \cdot 2 + 26{,}5 \cdot 1 = 1427\), поэтому \(\overline{X} = \frac{1427}{60} \approx 23{,}8\).
Мода \(Mo = 24\) (наибольшая частота 10). Медиана — среднее арифметическое 30-го и 31-го членов упорядоченного ряда из 60 размеров: членов, меньших 24, в ряду \(1 + 2 + 3 + 6 + 8 + 9 = 29\), а с 30-го по 39-й члены равны 24, поэтому \(Me = \frac{24 + 24}{2} = 24\). Среднее, мода и медиана почти совпадают — это подтверждает почти симметричный вид распределения.
Свойства кривой нормального распределения: она симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через среднее значение \(\overline{X} \approx 23{,}8\); наивысшая точка у неё одна — над средним значением; по обе стороны от этой точки кривая опускается к оси \(X\): размеры, далёкие от среднего, встречаются редко.
2) Так же запишем распределение величины \(Y\) — размера мужской обуви — по частотам \(M\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline Y & 25 & 25{,}5 & 26 & 26{,}5 & 27 & 27{,}5 \\ \hline M & 1 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline Y & 28 & 28{,}5 & 29 & 29{,}5 & 30 & 30{,}5 \\ \hline M & 9 & 7 & 6 & 4 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Проверка: \(\Sigma M = 1 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 9 + 7 + 6 + 4 + 2 + 1 = 60\).
Построим полигон частот и проведём плавную кривую, близкую к точкам полигона:
Полигон имеет одну вершину — над размером 27,5, в середине ряда размеров, и от неё частоты убывают в обе стороны почти симметрично: слева 8, 6, 4, 2, 1, справа 9, 7, 6, 4, 2, 1. Значит, и это распределение частот близко к нормальному, а проведённая кривая — кривая нормального распределения.
Сумма произведений размеров на их частоты \(25 \cdot 1 + 25{,}5 \cdot 2 + 26 \cdot 4 + 26{,}5 \cdot 6 + 27 \cdot 8 + 27{,}5 \cdot 10 + 28 \cdot 9 + 28{,}5 \cdot 7 + 29 \cdot 6 + 29{,}5 \cdot 4 + 30 \cdot 2 + 30{,}5 \cdot 1 = 1664\), поэтому среднее значение выборки \(\overline{Y} = \frac{1664}{60} \approx 27{,}7\).
Мода \(Mo = 27{,}5\) (наибольшая частота 10). Медиана — среднее арифметическое 30-го и 31-го членов упорядоченного ряда: членов, меньших 27,5, в ряду \(1 + 2 + 4 + 6 + 8 = 21\), а с 22-го по 31-й члены равны 27,5, поэтому \(Me = \frac{27{,}5 + 27{,}5}{2} = 27{,}5\). Среднее, мода и медиана и здесь почти совпадают.
Свойства этой кривой те же: она симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через среднее значение \(\overline{Y} \approx 27{,}7\); наивысшая точка у неё одна — над средним значением; по обе стороны от этой точки кривая опускается к оси \(Y\).
Ответ: 1) распределение близко к нормальному, \(\overline{X} = \frac{1427}{60} \approx 23{,}8\); 2) распределение близко к нормальному, \(\overline{Y} = \frac{1664}{60} \approx 27{,}7\). Кривая нормального распределения симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через среднее значение, имеет одну наивысшую точку — над средним значением — и по обе стороны от неё опускается к оси.
