Страница 9 номер 15, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
На рисунке 18 даны латинские квадраты. Составить ортогональные им латинские квадраты.
Первая цифра в клетке — число данного квадрата, вторая — ортогонального; все девять двузначных чисел из цифр 1, 2, 3 должны быть разными.
Верхний квадрат. Вторыми цифрами в первой строке возьмём 1, 2, 3 и получим 31, 12, 23. Во второй строке первые цифры — 1, 2, 3; вторые цифры должны отличаться от стоящих над ними, поэтому это 2, 3, 1 или 3, 1, 2. При 2, 3, 1 получились бы 12, 23, 31 — числа первой строки, поэтому берём 3, 1, 2 и получаем 13, 21, 32. Вторые цифры третьей строки — те, которых не хватает в столбцах: 2, 3, 1; получаем 22, 33, 11.
\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline 31 & 12 & 23 \\ \hline 13 & 21 & 32 \\ \hline 22 & 33 & 11 \\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|c|} \hline 1 & 2 & 3 \\ \hline 3 & 1 & 2 \\ \hline 2 & 3 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Все девять чисел 31, 12, 23, 13, 21, 32, 22, 33, 11 разные, а в квадрате из вторых цифр в каждой строке и каждом столбце числа 1, 2, 3 стоят по одному разу.
Нижний квадрат. Вторыми цифрами в первой строке снова возьмём 1, 2, 3 и получим 21, 32, 13. Во второй строке первые цифры — 3, 1, 2, вторые — 2, 3, 1 или 3, 1, 2. При 2, 3, 1 получились бы 32, 13, 21 — числа первой строки, поэтому берём 3, 1, 2 и получаем 33, 11, 22. Вторые цифры третьей строки — те, которых не хватает в столбцах: 2, 3, 1; получаем 12, 23, 31.
\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline 21 & 32 & 13 \\ \hline 33 & 11 & 22 \\ \hline 12 & 23 & 31 \\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|c|} \hline 1 & 2 & 3 \\ \hline 3 & 1 & 2 \\ \hline 2 & 3 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Все девять чисел 21, 32, 13, 33, 11, 22, 12, 23, 31 разные; квадрат из вторых цифр получился тот же, что и для верхнего квадрата.
Ответ: например, к верхнему квадрату — квадрат со строками 1, 2, 3; 3, 1, 2; 2, 3, 1; к нижнему — тот же квадрат со строками 1, 2, 3; 3, 1, 2; 2, 3, 1.
На рисунке 18 даны латинские квадраты. Составить ортогональные им латинские квадраты.
Запишем числа данного квадрата первыми цифрами в его клетках и допишем к ним вторые цифры так, чтобы получились все девять двузначных чисел из цифр 1, 2, 3, каждое по одному разу, а вторые цифры не повторялись ни в одной строке и ни в одном столбце. Квадрат из вторых цифр и будет латинским квадратом, ортогональным данному.
Верхний квадрат. Вторыми цифрами в первой строке возьмём 1, 2, 3 и получим 31, 12, 23. Во второй строке первые цифры — 1, 2, 3; вторые цифры должны отличаться от стоящих над ними, поэтому это 2, 3, 1 или 3, 1, 2. При 2, 3, 1 получились бы 12, 23, 31 — числа первой строки, поэтому берём 3, 1, 2 и получаем 13, 21, 32. Вторые цифры третьей строки — те, которых не хватает в столбцах: 2, 3, 1; получаем 22, 33, 11.
\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline 31 & 12 & 23 \\ \hline 13 & 21 & 32 \\ \hline 22 & 33 & 11 \\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|c|} \hline 1 & 2 & 3 \\ \hline 3 & 1 & 2 \\ \hline 2 & 3 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Все девять чисел 31, 12, 23, 13, 21, 32, 22, 33, 11 разные, а в квадрате из вторых цифр в каждой строке и каждом столбце числа 1, 2, 3 стоят по одному разу.
Нижний квадрат. Вторыми цифрами в первой строке снова возьмём 1, 2, 3 и получим 21, 32, 13. Во второй строке первые цифры — 3, 1, 2, вторые — 2, 3, 1 или 3, 1, 2. При 2, 3, 1 получились бы 32, 13, 21 — числа первой строки, поэтому берём 3, 1, 2 и получаем 33, 11, 22. Вторые цифры третьей строки — те, которых не хватает в столбцах: 2, 3, 1; получаем 12, 23, 31.
\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline 21 & 32 & 13 \\ \hline 33 & 11 & 22 \\ \hline 12 & 23 & 31 \\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|c|} \hline 1 & 2 & 3 \\ \hline 3 & 1 & 2 \\ \hline 2 & 3 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Все девять чисел 21, 32, 13, 33, 11, 22, 12, 23, 31 разные; квадрат из вторых цифр получился тот же, что и для верхнего квадрата.
Ответ: например, к верхнему квадрату — квадрат со строками 1, 2, 3; 3, 1, 2; 2, 3, 1; к нижнему — тот же квадрат со строками 1, 2, 3; 3, 1, 2; 2, 3, 1.
