Страница 71 номер 3, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
На стол одновременно бросают два игральных тетраэдра, грани каждого из которых пронумерованы числами 1, 2, 3 и 4. Составить таблицу распределения по вероятностям значений случайной величины \(X\) — суммы очков на гранях тетраэдров, касающихся поверхности стола.
Тетраэдры — два разных тела: 1-й и 2-й. Исход — упорядоченная пара чисел на гранях 1-го и 2-го тетраэдров, касающихся стола: пары (1; 3) и (3; 1) — разные исходы. Каждый тетраэдр может лечь любой из четырёх граней, поэтому число исходов \(n = 4 \cdot 4 = 16\). Тетраэдры правильные, поэтому все 16 исходов равновозможны.
Таблица сумм очков: строки отвечают 1-му тетраэдру, столбцы — 2-му.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{1-й тетраэдр} & \text{2-й тетраэдр} & & & \\ \hline & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline \end{array}\]
Число благоприятствующих исходов \(m\) для каждой суммы: \(m_{2} = m_{8} = 1\), \(m_{3} = m_{7} = 2\), \(m_{4} = m_{6} = 3\), \(m_{5} = 4\); проверка: \(1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16 = n\).
Вероятность каждой суммы \(P = \frac{m}{n}\) (сами суммы не равновозможны: сумме 2 благоприятствует один исход, сумме 5 — четыре); например, для суммы 3 — \(\frac{2}{16} = \frac{1}{8}\), для суммы 5 — \(\frac{4}{16} = \frac{1}{4}\).
\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \st \\ \hline P & \dfrac{1}{16} & \dfrac{1}{8} & \dfrac{3}{16} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{3}{16} & \dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{16} \st \\ \hline \end{array}\]
Ответ: значениям 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 соответствуют вероятности \(\frac{1}{16}\), \(\frac{1}{8}\), \(\frac{3}{16}\), \(\frac{1}{4}\), \(\frac{3}{16}\), \(\frac{1}{8}\), \(\frac{1}{16}\).
На стол одновременно бросают два игральных тетраэдра, грани каждого из которых пронумерованы числами 1, 2, 3 и 4. Составить таблицу распределения по вероятностям значений случайной величины \(X\) — суммы очков на гранях тетраэдров, касающихся поверхности стола.
Тетраэдры — два разных тела, поэтому назовём их 1-м и 2-м. Исход испытания — упорядоченная пара чисел на гранях 1-го и 2-го тетраэдров, касающихся стола: пары (1; 3) и (3; 1) — разные исходы. Каждый тетраэдр может лечь любой из четырёх граней, поэтому по правилу произведения число исходов \(n = 4 \cdot 4 = 16\). Тетраэдры правильные, поэтому все 16 исходов равновозможны. Составим таблицу сумм очков: строки отвечают 1-му тетраэдру, столбцы — 2-му.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{1-й тетраэдр} & \text{2-й тетраэдр} & & & \\ \hline & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline \end{array}\]
С помощью таблицы для каждой суммы определим число благоприятствующих исходов \(m\): \(m_{2} = m_{8} = 1\), \(m_{3} = m_{7} = 2\), \(m_{4} = m_{6} = 3\), \(m_{5} = 4\); проверка: \(1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16 = n\). Вероятность каждой суммы \(P = \frac{m}{n}\) (сами суммы не равновозможны: сумме 2 благоприятствует один исход, сумме 5 — четыре); например, для суммы 3 вероятность равна \(\frac{2}{16} = \frac{1}{8}\), для суммы 5 — \(\frac{4}{16} = \frac{1}{4}\).
\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \st \\ \hline P & \dfrac{1}{16} & \dfrac{1}{8} & \dfrac{3}{16} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{3}{16} & \dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{16} \st \\ \hline \end{array}\]
Ответ: значениям 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 соответствуют вероятности \(\frac{1}{16}\), \(\frac{1}{8}\), \(\frac{3}{16}\), \(\frac{1}{4}\), \(\frac{3}{16}\), \(\frac{1}{8}\), \(\frac{1}{16}\).
