Страница 71-72 номер 4, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
На стол одновременно бросают игральный кубик и игральный тетраэдр (грани которого пронумерованы числами 1, 2, 3 и 4). Составить таблицу распределения по вероятностям значений случайной величины \(X\) — суммы очков, выпавших на кубике и на грани тетраэдра, касающейся поверхности стола.
Исход — упорядоченная пара: число очков на кубике и число на грани тетраэдра, касающейся стола. На кубике может выпасть 6 разных чисел, на тетраэдре — 4, поэтому число исходов \(n = 6 \cdot 4 = 24\). Кубик и тетраэдр правильные, поэтому все 24 исхода равновозможны.
Таблица сумм очков: строки отвечают тетраэдру, столбцы — кубику.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Тетраэдр} & \text{Кубик} & & & & & \\ \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline \end{array}\]
Число благоприятствующих исходов \(m\) для каждой суммы: \(m_{2} = m_{10} = 1\), \(m_{3} = m_{9} = 2\), \(m_{4} = m_{8} = 3\), \(m_{5} = m_{6} = m_{7} = 4\); проверка: \(1 + 2 + 3 + 4 + 4 + 4 + 3 + 2 + 1 = 24 = n\).
Вероятность каждой суммы \(P = \frac{m}{n}\): \(\frac{1}{24}\) для сумм 2 и 10, \(\frac{2}{24} = \frac{1}{12}\) для сумм 3 и 9, \(\frac{3}{24} = \frac{1}{8}\) для сумм 4 и 8, \(\frac{4}{24} = \frac{1}{6}\) для сумм 5, 6 и 7.
\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \st \\ \hline P & \dfrac{1}{24} & \dfrac{1}{12} & \dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{12} & \dfrac{1}{24} \st \\ \hline \end{array}\]
Ответ: значениям 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 соответствуют вероятности \(\frac{1}{24}\), \(\frac{1}{12}\), \(\frac{1}{8}\), \(\frac{1}{6}\), \(\frac{1}{6}\), \(\frac{1}{6}\), \(\frac{1}{8}\), \(\frac{1}{12}\), \(\frac{1}{24}\).
На стол одновременно бросают игральный кубик и игральный тетраэдр (грани которого пронумерованы числами 1, 2, 3 и 4). Составить таблицу распределения по вероятностям значений случайной величины \(X\) — суммы очков, выпавших на кубике и на грани тетраэдра, касающейся поверхности стола.
Исход испытания — упорядоченная пара: число очков на кубике и число на грани тетраэдра, касающейся стола. На кубике может выпасть 6 разных чисел, на тетраэдре — 4, поэтому по правилу произведения число исходов \(n = 6 \cdot 4 = 24\). Кубик и тетраэдр правильные, поэтому все 24 исхода равновозможны. Составим таблицу сумм очков: строки отвечают тетраэдру, столбцы — кубику.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Тетраэдр} & \text{Кубик} & & & & & \\ \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline \end{array}\]
С помощью таблицы для каждой суммы определим число благоприятствующих исходов \(m\): \(m_{2} = m_{10} = 1\), \(m_{3} = m_{9} = 2\), \(m_{4} = m_{8} = 3\), \(m_{5} = m_{6} = m_{7} = 4\); проверка: \(1 + 2 + 3 + 4 + 4 + 4 + 3 + 2 + 1 = 24 = n\). Вероятность каждой суммы \(P = \frac{m}{n}\): \(\frac{1}{24}\) для сумм 2 и 10, \(\frac{2}{24} = \frac{1}{12}\) для сумм 3 и 9, \(\frac{3}{24} = \frac{1}{8}\) для сумм 4 и 8, \(\frac{4}{24} = \frac{1}{6}\) для сумм 5, 6 и 7.
\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \st \\ \hline P & \dfrac{1}{24} & \dfrac{1}{12} & \dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{12} & \dfrac{1}{24} \st \\ \hline \end{array}\]
Ответ: значениям 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 соответствуют вероятности \(\frac{1}{24}\), \(\frac{1}{12}\), \(\frac{1}{8}\), \(\frac{1}{6}\), \(\frac{1}{6}\), \(\frac{1}{6}\), \(\frac{1}{8}\), \(\frac{1}{12}\), \(\frac{1}{24}\).
