Страница 66 номер 2, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
Наугад называют натуральное число от 1 до 30. Какова вероятность того, что это число: 1) 6; 2) не 6; 3) кратно 6; 4) не кратно 6; 5) простое число; 6) квадратное число; 7) треугольное число; 8) не меньше 27?
Число называют наугад, поэтому каждое из 30 чисел от 1 до 30 может быть названо с равными шансами: \(n = 30\).
1) Событие \(A\) — «названо число 6»: \(m = 1\), \(P(A) = \frac{m}{n} = \frac{1}{30}\).
2) Событие \(\overline{A}\) — «названо число, отличное от 6» — противоположно событию \(A\): \(P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{30} = \frac{29}{30}\).
3) Событию \(B\) — «названо число, кратное 6» — благоприятствуют 6, 12, 18, 24, 30: \(m = 5\), \(P(B) = \frac{m}{n} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}\).
4) Событие \(\overline{B}\) — «названо число, не кратное 6» — противоположно событию \(B\): \(P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\).
5) Простые числа от 1 до 30: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 (число 1 простым не является). Событие \(C\) — «названо простое число»: \(m = 10\), \(P(C) = \frac{m}{n} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}\).
6) Квадратные числа от 1 до 30 — это \(1^{2} = 1\), \(2^{2} = 4\), \(3^{2} = 9\), \(4^{2} = 16\), \(5^{2} = 25\); следующее квадратное число \(6^{2} = 36\) уже больше 30. Событие \(D\) — «названо квадратное число»: \(m = 5\), \(P(D) = \frac{m}{n} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}\).
7) Треугольные числа от 1 до 30 — это 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28: седьмое треугольное число \(\frac{7 \cdot (7 + 1)}{2} = 28\), а восьмое \(\frac{8 \cdot (8 + 1)}{2} = 36\) уже больше 30. Событие \(E\) — «названо треугольное число»: \(m = 7\), \(P(E) = \frac{m}{n} = \frac{7}{30}\).
8) Событию \(F\) — «названо число, не меньшее 27» — благоприятствуют 27, 28, 29, 30: \(m = 4\), \(P(F) = \frac{m}{n} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}\).
Ответ: 1) \(\frac{1}{30}\); 2) \(\frac{29}{30}\); 3) \(\frac{1}{6}\); 4) \(\frac{5}{6}\); 5) \(\frac{1}{3}\); 6) \(\frac{1}{6}\); 7) \(\frac{7}{30}\); 8) \(\frac{2}{15}\).
Наугад называют натуральное число от 1 до 30. Какова вероятность того, что это число: 1) 6; 2) не 6; 3) кратно 6; 4) не кратно 6; 5) простое число; 6) квадратное число; 7) треугольное число; 8) не меньше 27?
Число называют наугад, поэтому каждое из 30 чисел от 1 до 30 может быть названо с равными шансами: в испытании \(n = 30\) равновозможных исходов.
1) Событию \(A\) — «названо число 6» — благоприятствует один исход, т. е. \(m = 1\), поэтому \(P(A) = \frac{m}{n} = \frac{1}{30}\).
2) Событие \(\overline{A}\) — «названо число, отличное от 6» — противоположно событию \(A\). Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, поэтому \(P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{30} = \frac{29}{30}\).
3) Событию \(B\) — «названо число, кратное 6» — благоприятствуют 5 исходов: 6, 12, 18, 24, 30, т. е. \(m = 5\), поэтому \(P(B) = \frac{m}{n} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}\).
4) Событие \(\overline{B}\) — «названо число, не кратное 6» — противоположно событию \(B\), поэтому \(P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\).
5) Простых чисел от 1 до 30 десять: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 (число 1 простым не является). Событию \(C\) — «названо простое число» — благоприятствуют 10 исходов, т. е. \(m = 10\), поэтому \(P(C) = \frac{m}{n} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}\).
6) Квадратные числа от 1 до 30 — это \(1^{2} = 1\), \(2^{2} = 4\), \(3^{2} = 9\), \(4^{2} = 16\), \(5^{2} = 25\); следующее квадратное число \(6^{2} = 36\) уже больше 30. Событию \(D\) — «названо квадратное число» — благоприятствуют 5 исходов, т. е. \(m = 5\), поэтому \(P(D) = \frac{m}{n} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}\).
7) Треугольные числа от 1 до 30 — это 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28: седьмое треугольное число \(\frac{7 \cdot (7 + 1)}{2} = 28\), а восьмое \(\frac{8 \cdot (8 + 1)}{2} = 36\) уже больше 30. Событию \(E\) — «названо треугольное число» — благоприятствуют 7 исходов, т. е. \(m = 7\), поэтому \(P(E) = \frac{m}{n} = \frac{7}{30}\).
8) Событию \(F\) — «названо число, не меньшее 27» — благоприятствуют 4 исхода: 27, 28, 29, 30, т. е. \(m = 4\), поэтому \(P(F) = \frac{m}{n} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}\).
Ответ: 1) \(\frac{1}{30}\); 2) \(\frac{29}{30}\); 3) \(\frac{1}{6}\); 4) \(\frac{5}{6}\); 5) \(\frac{1}{3}\); 6) \(\frac{1}{6}\); 7) \(\frac{7}{30}\); 8) \(\frac{2}{15}\).
