Страница 66 номер 12, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
Из колоды карт (36 листов) наугад вынуты две карты. Какова вероятность того, что среди них: 1) хотя бы одна карта трефовой масти; 2) хотя бы одна карта туз?
В колоде 36 карт — четыре масти по 9 карт: 6, 7, 8, 9, 10, валет, дама, король, туз. Карты вынимают наугад, поэтому любая пара карт может оказаться вынутой с равными шансами; порядок карт в паре значения не имеет. Из 36 карт можно составить \(\frac{(36 - 1) \cdot 36}{2} = 630\) различных пар: \(n = 630\).
1) Пусть событие \(A\) — среди вынутых карт хотя бы одна трефовой масти. Тогда событие \(\overline{A}\) — среди вынутых карт нет ни одной трефовой (т. е. обе карты — из \(36 - 9 = 27\) карт трёх других мастей). Событию \(\overline{A}\) благоприятствуют все пары, составленные из этих 27 карт: их \(\frac{(27 - 1) \cdot 27}{2} = 351\), т. е. \(m = 351\), \(P(\overline{A}) = \frac{m}{n} = \frac{351}{630} = \frac{39}{70}\). Значит, \(P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{39}{70} = \frac{31}{70}\).
2) Пусть событие \(B\) — среди вынутых карт хотя бы один туз. Тогда событие \(\overline{B}\) — среди вынутых карт нет ни одного туза (т. е. обе карты — из \(36 - 4 = 32\) карт, отличных от тузов, которых в колоде 4). Событию \(\overline{B}\) благоприятствуют \(\frac{(32 - 1) \cdot 32}{2} = 496\) пар, т. е. \(m = 496\), \(P(\overline{B}) = \frac{m}{n} = \frac{496}{630} = \frac{248}{315}\) и \(P(B) = 1 - P(\overline{B}) = 1 - \frac{248}{315} = \frac{67}{315}\).
Ответ: 1) \(\frac{31}{70}\); 2) \(\frac{67}{315}\).
Из колоды карт (36 листов) наугад вынуты две карты. Какова вероятность того, что среди них: 1) хотя бы одна карта трефовой масти; 2) хотя бы одна карта туз?
В колоде 36 карт — четыре масти по 9 карт: 6, 7, 8, 9, 10, валет, дама, король, туз. Две карты вынимают наугад, поэтому любая пара карт может оказаться вынутой с равными шансами; порядок карт в паре значения не имеет — важно лишь, какие две карты вынуты. Из 36 карт можно составить \(\frac{(36 - 1) \cdot 36}{2} = 630\) различных пар, т. е. \(n = 630\).
1) Пусть событие \(A\) — среди вынутых карт хотя бы одна трефовой масти (т. е. либо одна, либо две). Тогда событие \(\overline{A}\) — среди вынутых карт нет ни одной трефовой (т. е. обе карты — из \(36 - 9 = 27\) карт трёх других мастей). Событию \(\overline{A}\) благоприятствуют все пары, составленные из этих 27 карт: их \(\frac{(27 - 1) \cdot 27}{2} = 351\), т. е. \(m = 351\), поэтому \(P(\overline{A}) = \frac{m}{n} = \frac{351}{630} = \frac{39}{70}\). Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, значит, \(P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{39}{70} = \frac{31}{70}\).
2) Пусть событие \(B\) — среди вынутых карт хотя бы один туз. Тогда событие \(\overline{B}\) — среди вынутых карт нет ни одного туза (т. е. обе карты — из \(36 - 4 = 32\) карт, отличных от тузов, которых в колоде 4). Событию \(\overline{B}\) благоприятствуют \(\frac{(32 - 1) \cdot 32}{2} = 496\) пар, т. е. \(m = 496\), поэтому \(P(\overline{B}) = \frac{m}{n} = \frac{496}{630} = \frac{248}{315}\) и \(P(B) = 1 - P(\overline{B}) = 1 - \frac{248}{315} = \frac{67}{315}\).
Ответ: 1) \(\frac{31}{70}\); 2) \(\frac{67}{315}\).
