Страница 65 номер 2, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
Выяснить, является ли справедливым следующий выбор преимущества среди трёх игроков с помощью двух карт красной масти и двух карт чёрной масти: «Преимущество достаётся первому игроку, если случайным образом вынуть две карты разных мастей; преимущество достаётся второму игроку, если вынимают две карты красной масти; преимущество достаётся третьему игроку, если вынуты обе карты чёрной масти».
Обозначим красные карты \(\text{к}_{1}\), \(\text{к}_{2}\), чёрные — \(\text{ч}_{1}\), \(\text{ч}_{2}\). Преимущество зависит только от того, какие карты вынуты, а не от порядка, поэтому исход — пара карт без учёта порядка. Из 4 карт можно составить \(\frac{(4 - 1) \cdot 4}{2} = 6\) различных пар; по системе (сначала пары с картой \(\text{к}_{1}\), затем с \(\text{к}_{2}\), затем с \(\text{ч}_{1}\)): \(\text{к}_{1}\text{к}_{2}\), \(\text{к}_{1}\text{ч}_{1}\), \(\text{к}_{1}\text{ч}_{2}\), \(\text{к}_{2}\text{ч}_{1}\), \(\text{к}_{2}\text{ч}_{2}\), \(\text{ч}_{1}\text{ч}_{2}\). Карты вынимают случайным образом, поэтому все 6 пар равновозможны: \(n = 6\).
Первому игроку благоприятствуют пары карт разных мастей \(\text{к}_{1}\text{ч}_{1}\), \(\text{к}_{1}\text{ч}_{2}\), \(\text{к}_{2}\text{ч}_{1}\), \(\text{к}_{2}\text{ч}_{2}\): \(m = 4\), \(P = \frac{m}{n} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).
Второму игроку благоприятствует единственная пара красных карт \(\text{к}_{1}\text{к}_{2}\): \(m = 1\), \(P = \frac{1}{6}\).
Третьему игроку — единственная пара чёрных карт \(\text{ч}_{1}\text{ч}_{2}\), для него тоже \(P = \frac{1}{6}\).
Выбор не является справедливым: \(\frac{2}{3} : \frac{1}{6} = 4\), т. е. первый игрок, по всей вероятности, будет получать преимущество в 4 раза чаще, чем каждый из двух других.
Ответ: выбор не является справедливым: вероятность получить преимущество у первого игрока — \(\frac{2}{3}\), а у второго и третьего — по \(\frac{1}{6}\), т. е. у первого шансов в 4 раза больше, чем у каждого из других.
Выяснить, является ли справедливым следующий выбор преимущества среди трёх игроков с помощью двух карт красной масти и двух карт чёрной масти: «Преимущество достаётся первому игроку, если случайным образом вынуть две карты разных мастей; преимущество достаётся второму игроку, если вынимают две карты красной масти; преимущество достаётся третьему игроку, если вынуты обе карты чёрной масти».
Обозначим красные карты \(\text{к}_{1}\), \(\text{к}_{2}\), чёрные — \(\text{ч}_{1}\), \(\text{ч}_{2}\). Вынимают две карты, и преимущество зависит только от того, какие это карты, а не от порядка, поэтому исход испытания — пара карт без учёта порядка. Из 4 карт можно составить \(\frac{(4 - 1) \cdot 4}{2} = 6\) различных пар; по системе (сначала пары с картой \(\text{к}_{1}\), затем с \(\text{к}_{2}\), затем с \(\text{ч}_{1}\)): \(\text{к}_{1}\text{к}_{2}\), \(\text{к}_{1}\text{ч}_{1}\), \(\text{к}_{1}\text{ч}_{2}\), \(\text{к}_{2}\text{ч}_{1}\), \(\text{к}_{2}\text{ч}_{2}\), \(\text{ч}_{1}\text{ч}_{2}\). Карты вынимают случайным образом, поэтому все 6 пар равновозможны, т. е. \(n = 6\).
Первому игроку благоприятствуют пары карт разных мастей (одна красная, другая чёрная): \(\text{к}_{1}\text{ч}_{1}\), \(\text{к}_{1}\text{ч}_{2}\), \(\text{к}_{2}\text{ч}_{1}\), \(\text{к}_{2}\text{ч}_{2}\), т. е. \(m = 4\), и вероятность получить преимущество у него \(P = \frac{m}{n} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).
Второму игроку благоприятствует единственная пара красных карт \(\text{к}_{1}\text{к}_{2}\), т. е. \(m = 1\) и \(P = \frac{1}{6}\); третьему — единственная пара чёрных карт \(\text{ч}_{1}\text{ч}_{2}\), и для него тоже \(P = \frac{1}{6}\).
Выбор не является справедливым, так как вероятность получить преимущество у первого игрока — \(\frac{2}{3}\), а у второго и третьего — по \(\frac{1}{6}\). Так как \(\frac{2}{3} : \frac{1}{6} = 4\), то можно сказать, что первый игрок, по всей вероятности, будет получать преимущество в 4 раза чаще, чем каждый из двух других.
Ответ: выбор не является справедливым: вероятность получить преимущество у первого игрока — \(\frac{2}{3}\), а у второго и третьего — по \(\frac{1}{6}\), т. е. у первого шансов в 4 раза больше, чем у каждого из других.
