Страница 62 номер 6, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
(Исследование.) Результаты подбрасывания 100 раз (\(N = 100\)) игрального кубика занести в таблицу.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Исход испытания} & \text{1 очко} & \text{2 очка} & \text{3 очка} & \text{4 очка} & \text{5 очков} & \text{6 очков} \\ \hline \text{Подсчёт случаев} & & & & & & \\ \hline \text{Частота } (M) & & & & & & \\ \hline \text{Относительная частота } \left(W = \frac{M}{100}\right) & & & & & & \\ \hline \end{array}\]
Подсчёт случаев удобно проводить следующим образом: после каждого броска кубика в соответствующую выпавшему числу очков ячейку таблицы ставят знак «\(|\)». После накопления четырёх вертикальных знаков пятый проводят горизонтально: «\(\sout{||||}\)». После этого подсчёт частот существенно упрощается. Например, если в ячейке подсчёта случаев стоят знаки «\(\sout{||||}\ \sout{||||}\ \sout{||||}\ ||\)», то, очевидно, под ней, в ячейке частоты, следует записать число 17 (получаемое как \(5 \cdot 3 + 2\)).
Объединив результаты исследований нескольких (\(k\)) учеников, составить сводную таблицу частот и относительных частот (для \(N = 100 \cdot k\) испытаний). Убедиться в том, что с увеличением числа испытаний относительная частота появления 1 очка, 2 очков, …, 6 очков всё меньше отличается от вероятности каждого из этих событий \(P = \frac{1}{6}\).
Возьмём для примера такие результаты опыта: при 100 бросках кубика 1 очко выпало 14 раз, 2 очка — 19 раз, 3 очка — 16, 4 очка — 13, 5 очков — 20, 6 очков — 18 раз. Относительная частота каждого исхода \(W = \frac{M}{100}\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Исход} & \text{Подсчёт случаев} & M & W \\ \hline \text{1 очко} & \sout{||||}\ \sout{||||}\ |||| & 14 & 0{,}14 \\ \hline \text{2 очка} & \sout{||||}\ \sout{||||}\ \sout{||||}\ |||| & 19 & 0{,}19 \\ \hline \text{3 очка} & \sout{||||}\ \sout{||||}\ \sout{||||}\ | & 16 & 0{,}16 \\ \hline \text{4 очка} & \sout{||||}\ \sout{||||}\ ||| & 13 & 0{,}13 \\ \hline \text{5 очков} & \sout{||||}\ \sout{||||}\ \sout{||||}\ \sout{||||} & 20 & 0{,}2 \\ \hline \text{6 очков} & \sout{||||}\ \sout{||||}\ \sout{||||}\ ||| & 18 & 0{,}18 \\ \hline \end{array}\]
\(14 + 19 + 16 + 13 + 20 + 18 = 100\) — число бросков.
Для сводной таблицы возьмём для примера результаты десяти учеников вместе с этими 100 бросками: \(k = 10\), всего \(N = 100 \cdot 10 = 1000\) испытаний, относительная частота \(W = \frac{M}{1000}\).
\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Исход} & M & W \\ \hline \text{1 очко} & 161 & 0{,}161 \\ \hline \text{2 очка} & 172 & 0{,}172 \\ \hline \text{3 очка} & 166 & 0{,}166 \\ \hline \text{4 очка} & 159 & 0{,}159 \\ \hline \text{5 очков} & 175 & 0{,}175 \\ \hline \text{6 очков} & 167 & 0{,}167 \\ \hline \end{array}\]
\(161 + 172 + 166 + 159 + 175 + 167 = 1000\) — число испытаний.
\(P = \frac{1}{6} \approx 0{,}167\) — вероятность каждого исхода.
При \(N = 100\) относительные частоты — от 0,13 до 0,2, отличие от 0,167 самое большее \(0{,}167 - 0{,}13 = 0{,}037\).
При \(N = 1000\) — от 0,159 до 0,175, отличие не больше \(0{,}167 - 0{,}159 = 0{,}175 - 0{,}167 = 0{,}008\).
Значит, с увеличением числа испытаний относительные частоты всё меньше отличаются от вероятности \(\frac{1}{6}\).
Ответ: для взятых результатов при \(N = 100\) относительные частоты 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков — 0,14; 0,19; 0,16; 0,13; 0,2; 0,18; а в сводной таблице при \(N = 1000\) — 0,161; 0,172; 0,166; 0,159; 0,175; 0,167; наибольшее отличие относительной частоты от вероятности \(\frac{1}{6}\) уменьшилось с 0,037 до 0,008.
(Исследование.) Результаты подбрасывания 100 раз (\(N = 100\)) игрального кубика занести в таблицу.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Исход испытания} & \text{1 очко} & \text{2 очка} & \text{3 очка} & \text{4 очка} & \text{5 очков} & \text{6 очков} \\ \hline \text{Подсчёт случаев} & & & & & & \\ \hline \text{Частота } (M) & & & & & & \\ \hline \text{Относительная частота } \left(W = \frac{M}{100}\right) & & & & & & \\ \hline \end{array}\]
Подсчёт случаев удобно проводить следующим образом: после каждого броска кубика в соответствующую выпавшему числу очков ячейку таблицы ставят знак «\(|\)». После накопления четырёх вертикальных знаков пятый проводят горизонтально: «\(\sout{||||}\)». После этого подсчёт частот существенно упрощается. Например, если в ячейке подсчёта случаев стоят знаки «\(\sout{||||}\ \sout{||||}\ \sout{||||}\ ||\)», то, очевидно, под ней, в ячейке частоты, следует записать число 17 (получаемое как \(5 \cdot 3 + 2\)).
Объединив результаты исследований нескольких (\(k\)) учеников, составить сводную таблицу частот и относительных частот (для \(N = 100 \cdot k\) испытаний). Убедиться в том, что с увеличением числа испытаний относительная частота появления 1 очка, 2 очков, …, 6 очков всё меньше отличается от вероятности каждого из этих событий \(P = \frac{1}{6}\).
Возьмём для примера такие результаты опыта: при 100 бросках кубика 1 очко выпало 14 раз, 2 очка — 19 раз, 3 очка — 16, 4 очка — 13, 5 очков — 20, 6 очков — 18 раз. Относительная частота каждого исхода \(W = \frac{M}{100}\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Исход} & \text{Подсчёт случаев} & M & W \\ \hline \text{1 очко} & \sout{||||}\ \sout{||||}\ |||| & 14 & 0{,}14 \\ \hline \text{2 очка} & \sout{||||}\ \sout{||||}\ \sout{||||}\ |||| & 19 & 0{,}19 \\ \hline \text{3 очка} & \sout{||||}\ \sout{||||}\ \sout{||||}\ | & 16 & 0{,}16 \\ \hline \text{4 очка} & \sout{||||}\ \sout{||||}\ ||| & 13 & 0{,}13 \\ \hline \text{5 очков} & \sout{||||}\ \sout{||||}\ \sout{||||}\ \sout{||||} & 20 & 0{,}2 \\ \hline \text{6 очков} & \sout{||||}\ \sout{||||}\ \sout{||||}\ ||| & 18 & 0{,}18 \\ \hline \end{array}\]
Сумма частот \(14 + 19 + 16 + 13 + 20 + 18 = 100\) равна числу бросков.
Для сводной таблицы возьмём для примера результаты десяти учеников вместе с этими 100 бросками: \(k = 10\), всего \(N = 100 \cdot 10 = 1000\) испытаний, относительная частота \(W = \frac{M}{1000}\).
\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Исход} & M & W \\ \hline \text{1 очко} & 161 & 0{,}161 \\ \hline \text{2 очка} & 172 & 0{,}172 \\ \hline \text{3 очка} & 166 & 0{,}166 \\ \hline \text{4 очка} & 159 & 0{,}159 \\ \hline \text{5 очков} & 175 & 0{,}175 \\ \hline \text{6 очков} & 167 & 0{,}167 \\ \hline \end{array}\]
Сумма частот \(161 + 172 + 166 + 159 + 175 + 167 = 1000\) равна числу испытаний.
Вероятность каждого исхода \(P = \frac{1}{6} \approx 0{,}167\). При \(N = 100\) относительные частоты лежат от 0,13 до 0,2 и отличаются от 0,167 самое большее на \(0{,}167 - 0{,}13 = 0{,}037\), а при \(N = 1000\) — от 0,159 до 0,175, т. е. отличаются от 0,167 не больше чем на \(0{,}167 - 0{,}159 = 0{,}175 - 0{,}167 = 0{,}008\). Значит, с увеличением числа испытаний относительная частота появления 1 очка, 2 очков, …, 6 очков всё меньше отличается от вероятности каждого из этих событий \(\frac{1}{6}\).
Ответ: для взятых результатов при \(N = 100\) относительные частоты 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков — 0,14; 0,19; 0,16; 0,13; 0,2; 0,18; а в сводной таблице при \(N = 1000\) — 0,161; 0,172; 0,166; 0,159; 0,175; 0,167; наибольшее отличие относительной частоты от вероятности \(\frac{1}{6}\) уменьшилось с 0,037 до 0,008.
