Страница 47 номер 4, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение выпавших на костях очков равно: 1) 5; 2) 4; 3) 10; 4) 12.
Кости — два разных предмета, даже если на вид они одинаковы, поэтому назовём их 1-й и 2-й костью. В клетке таблицы стоит исход, первая цифра которого — очки на 1-й кости, вторая — на 2-й.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{1-я кость} & \text{2-я кость} & & & & & \\ \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ \hline 2 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 \\ \hline 3 & 31 & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 \\ \hline 4 & 41 & 42 & 43 & 44 & 45 & 46 \\ \hline 5 & 51 & 52 & 53 & 54 & 55 & 56 \\ \hline 6 & 61 & 62 & 63 & 64 & 65 & 66 \\ \hline \end{array}\]
Исход испытания — упорядоченная пара очков: 14 и 41 — разные исходы. Число возможных исходов \(n = 6 \cdot 6 = 36\). Кости правильные, поэтому все 36 исходов равновозможны.
Если произведение очков равно данному числу, то очки на 1-й кости — делитель этого числа, а очки на 2-й кости — частное; оба числа — от 1 до 6.
1) Делители числа 5 — 1 и 5: \(5 = 1 \cdot 5 = 5 \cdot 1\). Событию \(A\) — произведение очков равно 5 — благоприятствуют исходы 15 и 51, т. е. \(m = 2\), поэтому \(P(A) = \frac{m}{n} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}\).
2) Делители числа 4 — 1, 2 и 4: \(4 = 1 \cdot 4 = 2 \cdot 2 = 4 \cdot 1\). Событию \(B\) — произведение очков равно 4 — благоприятствуют исходы 14, 22, 41, т. е. \(m = 3\), поэтому \(P(B) = \frac{m}{n} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\).
3) Делители числа 10, не большие 6, — 1, 2 и 5; при 1 очке на 1-й кости на 2-й должно было бы выпасть 10 очков, так не бывает. Остаётся \(10 = 2 \cdot 5 = 5 \cdot 2\). Событию \(C\) — произведение очков равно 10 — благоприятствуют исходы 25 и 52, т. е. \(m = 2\), поэтому \(P(C) = \frac{m}{n} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}\).
4) Делители числа 12, не большие 6, — 1, 2, 3, 4 и 6; при 1 очке на 1-й кости на 2-й должно было бы выпасть 12 очков, так не бывает. Остаётся \(12 = 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4 = 4 \cdot 3 = 6 \cdot 2\). Событию \(D\) — произведение очков равно 12 — благоприятствуют исходы 26, 34, 43, 62, т. е. \(m = 4\), поэтому \(P(D) = \frac{m}{n} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}\).
Ответ: 1) \(\frac{1}{18}\); 2) \(\frac{1}{12}\); 3) \(\frac{1}{18}\); 4) \(\frac{1}{9}\).
Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение выпавших на костях очков равно: 1) 5; 2) 4; 3) 10; 4) 12.
Кости — два разных предмета, даже если на вид они одинаковы, поэтому назовём их 1-й и 2-й костью. Составим таблицу исходов: строки отвечают очкам на 1-й кости, столбцы — на 2-й; в клетке стоит исход, первая цифра которого — очки на 1-й кости, вторая — на 2-й.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{1-я кость} & \text{2-я кость} & & & & & \\ \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ \hline 2 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 \\ \hline 3 & 31 & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 \\ \hline 4 & 41 & 42 & 43 & 44 & 45 & 46 \\ \hline 5 & 51 & 52 & 53 & 54 & 55 & 56 \\ \hline 6 & 61 & 62 & 63 & 64 & 65 & 66 \\ \hline \end{array}\]
Исход испытания — упорядоченная пара очков: 14 и 41 — разные исходы. Число возможных исходов \(n = 6 \cdot 6 = 36\). Кости правильные (симметричные), поэтому все 36 исходов равновозможны.
Если произведение очков равно данному числу, то очки на 1-й кости — делитель этого числа, а очки на 2-й кости — частное; оба числа — от 1 до 6. Поэтому благоприятствующие исходы найдём, перебирая делители по возрастанию.
1) Делители числа 5 — 1 и 5: \(5 = 1 \cdot 5 = 5 \cdot 1\). Событию \(A\) — произведение очков равно 5 — благоприятствуют исходы 15 и 51, т. е. \(m = 2\), поэтому \(P(A) = \frac{m}{n} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}\).
2) Делители числа 4 — 1, 2 и 4: \(4 = 1 \cdot 4 = 2 \cdot 2 = 4 \cdot 1\). Событию \(B\) — произведение очков равно 4 — благоприятствуют исходы 14, 22, 41, т. е. \(m = 3\), поэтому \(P(B) = \frac{m}{n} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\).
3) Делители числа 10, не большие 6, — 1, 2 и 5; при 1 очке на 1-й кости на 2-й должно было бы выпасть 10 очков, так не бывает. Остаётся \(10 = 2 \cdot 5 = 5 \cdot 2\). Событию \(C\) — произведение очков равно 10 — благоприятствуют исходы 25 и 52, т. е. \(m = 2\), поэтому \(P(C) = \frac{m}{n} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}\).
4) Делители числа 12, не большие 6, — 1, 2, 3, 4 и 6; при 1 очке на 1-й кости на 2-й должно было бы выпасть 12 очков, так не бывает. Остаётся \(12 = 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4 = 4 \cdot 3 = 6 \cdot 2\). Событию \(D\) — произведение очков равно 12 — благоприятствуют исходы 26, 34, 43, 62, т. е. \(m = 4\), поэтому \(P(D) = \frac{m}{n} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}\).
Ответ: 1) \(\frac{1}{18}\); 2) \(\frac{1}{12}\); 3) \(\frac{1}{18}\); 4) \(\frac{1}{9}\).
