Страница 47 номер 3, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
Бросают две игральные кости — жёлтую и зелёную. Какова вероятность того, что появятся: 1) на жёлтой кости 2 очка, на зелёной 3 очка; 2) на одной кости 2 очка, а на другой 3 очка; 3) на жёлтой кости 5 очков; 4) на жёлтой кости чётное число очков; 5) на обеих костях чётные очки; 6) на жёлтой кости число очков, кратное 3, а на зелёной — чётное число очков; 7) на обеих костях одинаковые очки; 8) очки, сумма которых равна 3; 9) очки, сумма которых не больше 3; 10) очки, сумма которых равна 11; 11) очки, сумма которых равна 10; 12) очки, сумма которых не меньше 10?
В клетке таблицы стоит исход, первая цифра которого — очки на жёлтой кости, вторая — на зелёной.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Жёлтая кость} & \text{Зелёная кость} & & & & & \\ \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ \hline 2 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 \\ \hline 3 & 31 & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 \\ \hline 4 & 41 & 42 & 43 & 44 & 45 & 46 \\ \hline 5 & 51 & 52 & 53 & 54 & 55 & 56 \\ \hline 6 & 61 & 62 & 63 & 64 & 65 & 66 \\ \hline \end{array}\]
Кости различаются цветом, поэтому исход испытания — упорядоченная пара очков: 23 и 32 — разные исходы. Число возможных исходов \(n = 6 \cdot 6 = 36\). Кости правильные, поэтому все 36 исходов равновозможны.
1) Событию благоприятствует один исход — 23, т. е. \(m = 1\), поэтому \(P = \frac{m}{n} = \frac{1}{36}\).
2) Событию благоприятствуют два исхода: 23 и 32, т. е. \(m = 2\), поэтому \(P = \frac{m}{n} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}\).
3) Событию благоприятствуют исходы строки 5 таблицы: 51, 52, 53, 54, 55, 56, т. е. \(m = 6\), поэтому \(P = \frac{m}{n} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).
4) Чётное число очков — это 2, 4 или 6. Событию благоприятствуют исходы строк 2, 4 и 6 таблицы, по 6 исходов в каждой: \(m = 3 \cdot 6 = 18\), поэтому \(P = \frac{m}{n} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}\).
5) Событию благоприятствуют исходы, в которых и на жёлтой, и на зелёной кости 2, 4 или 6 очков: 22, 24, 26, 42, 44, 46, 62, 64, 66, т. е. \(m = 3 \cdot 3 = 9\), поэтому \(P = \frac{m}{n} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}\).
6) Числа очков, кратные 3, — это 3 и 6, чётные — 2, 4 и 6. Событию благоприятствуют исходы 32, 34, 36, 62, 64, 66, т. е. \(m = 2 \cdot 3 = 6\), поэтому \(P = \frac{m}{n} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).
7) Событию благоприятствуют исходы 11, 22, 33, 44, 55, 66, т. е. \(m = 6\), поэтому \(P = \frac{m}{n} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).
8) Сумма очков — не исход испытания: суммы неравновозможны — сумме 2 отвечает один исход (11), а сумме 7 — шесть (16, 25, 34, 43, 52, 61). Поэтому считаем исходы — упорядоченные пары очков. Сумме 3 отвечают исходы 12 и 21, а если на жёлтой кости 3 очка или больше, сумма больше 3. Значит, \(m = 2\) и \(P = \frac{m}{n} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}\).
9) Событию благоприятствуют исходы с суммой 2 (11) и с суммой 3 (12 и 21), т. е. \(m = 3\), поэтому \(P = \frac{m}{n} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\).
10) Сумма 11 получается, только если на жёлтой кости 5 или 6 очков (при меньшем числе очков на зелёной кости должно было бы выпасть больше 6): исходы 56 и 65, т. е. \(m = 2\), поэтому \(P = \frac{m}{n} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}\).
11) Сумма 10 получается, только если на жёлтой кости 4, 5 или 6 очков (при меньшем числе очков на зелёной кости должно было бы выпасть больше 6): исходы 46, 55, 64, т. е. \(m = 3\), поэтому \(P = \frac{m}{n} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\).
12) Сумма не меньше 10 — это сумма 10 (исходы 46, 55, 64), 11 (исходы 56, 65) или 12 (исход 66), т. е. \(m = 3 + 2 + 1 = 6\), поэтому \(P = \frac{m}{n} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).
Ответ: 1) \(\frac{1}{36}\); 2) \(\frac{1}{18}\); 3) \(\frac{1}{6}\); 4) \(\frac{1}{2}\); 5) \(\frac{1}{4}\); 6) \(\frac{1}{6}\); 7) \(\frac{1}{6}\); 8) \(\frac{1}{18}\); 9) \(\frac{1}{12}\); 10) \(\frac{1}{18}\); 11) \(\frac{1}{12}\); 12) \(\frac{1}{6}\).
Бросают две игральные кости — жёлтую и зелёную. Какова вероятность того, что появятся: 1) на жёлтой кости 2 очка, на зелёной 3 очка; 2) на одной кости 2 очка, а на другой 3 очка; 3) на жёлтой кости 5 очков; 4) на жёлтой кости чётное число очков; 5) на обеих костях чётные очки; 6) на жёлтой кости число очков, кратное 3, а на зелёной — чётное число очков; 7) на обеих костях одинаковые очки; 8) очки, сумма которых равна 3; 9) очки, сумма которых не больше 3; 10) очки, сумма которых равна 11; 11) очки, сумма которых равна 10; 12) очки, сумма которых не меньше 10?
Составим таблицу исходов бросания двух костей: строки отвечают очкам на жёлтой кости, столбцы — на зелёной; в клетке стоит исход, первая цифра которого — очки на жёлтой кости, вторая — на зелёной.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Жёлтая кость} & \text{Зелёная кость} & & & & & \\ \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ \hline 2 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 \\ \hline 3 & 31 & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 \\ \hline 4 & 41 & 42 & 43 & 44 & 45 & 46 \\ \hline 5 & 51 & 52 & 53 & 54 & 55 & 56 \\ \hline 6 & 61 & 62 & 63 & 64 & 65 & 66 \\ \hline \end{array}\]
Кости различаются цветом, поэтому исход испытания — упорядоченная пара очков: 23 (на жёлтой кости 2 очка, на зелёной 3) и 32 — разные исходы. Число возможных исходов \(n = 6 \cdot 6 = 36\). Кости правильные (симметричные), поэтому все 36 исходов равновозможны.
1) Событию «на жёлтой кости 2 очка, на зелёной 3 очка» благоприятствует один исход — 23, т. е. \(m = 1\), поэтому \(P = \frac{m}{n} = \frac{1}{36}\).
2) Событию «на одной кости 2 очка, а на другой 3 очка» благоприятствуют два исхода: 23 и 32 (двойка может выпасть и на жёлтой, и на зелёной кости), т. е. \(m = 2\), поэтому \(P = \frac{m}{n} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}\).
3) Событию «на жёлтой кости 5 очков» благоприятствуют исходы строки 5 таблицы: 51, 52, 53, 54, 55, 56, т. е. \(m = 6\), поэтому \(P = \frac{m}{n} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).
4) Чётное число очков — это 2, 4 или 6. Событию «на жёлтой кости чётное число очков» благоприятствуют исходы строк 2, 4 и 6 таблицы, по 6 исходов в каждой: \(m = 3 \cdot 6 = 18\), поэтому \(P = \frac{m}{n} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}\).
5) Событию «на обеих костях чётные очки» благоприятствуют исходы, в которых и на жёлтой, и на зелёной кости 2, 4 или 6 очков: 22, 24, 26, 42, 44, 46, 62, 64, 66. По правилу произведения \(m = 3 \cdot 3 = 9\), поэтому \(P = \frac{m}{n} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}\).
6) Числа очков, кратные 3, — это 3 и 6, чётные — 2, 4 и 6. Событию «на жёлтой кости число очков, кратное 3, а на зелёной — чётное» благоприятствуют исходы 32, 34, 36, 62, 64, 66; по правилу произведения \(m = 2 \cdot 3 = 6\), поэтому \(P = \frac{m}{n} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).
7) Событию «на обеих костях одинаковые очки» благоприятствуют исходы 11, 22, 33, 44, 55, 66 — по одному на каждое число очков от 1 до 6, т. е. \(m = 6\), поэтому \(P = \frac{m}{n} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).
8) Сумма очков — не исход испытания: суммы неравновозможны — сумме 2 отвечает один исход (11), а сумме 7 — шесть (16, 25, 34, 43, 52, 61). Поэтому считаем исходы — упорядоченные пары очков. Переберём очки на жёлтой кости по возрастанию: сумме 3 отвечают исходы 12 и 21, а если на жёлтой кости 3 очка или больше, сумма больше 3. Значит, \(m = 2\) и \(P = \frac{m}{n} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}\).
9) Событию «сумма очков не больше 3» благоприятствуют исходы с суммой 2 (11) и с суммой 3 (12 и 21), т. е. \(m = 3\), поэтому \(P = \frac{m}{n} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\).
10) Сумма 11 получается, только если на жёлтой кости 5 или 6 очков (при меньшем числе очков на зелёной кости должно было бы выпасть больше 6): исходы 56 и 65, т. е. \(m = 2\), поэтому \(P = \frac{m}{n} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}\).
11) Сумма 10 получается, только если на жёлтой кости 4, 5 или 6 очков (при меньшем числе очков на зелёной кости должно было бы выпасть больше 6): исходы 46, 55, 64, т. е. \(m = 3\), поэтому \(P = \frac{m}{n} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\).
12) Сумма не меньше 10 — это сумма 10 (исходы 46, 55, 64), 11 (исходы 56, 65) или 12 (исход 66), т. е. \(m = 3 + 2 + 1 = 6\), поэтому \(P = \frac{m}{n} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).
Ответ: 1) \(\frac{1}{36}\); 2) \(\frac{1}{18}\); 3) \(\frac{1}{6}\); 4) \(\frac{1}{2}\); 5) \(\frac{1}{4}\); 6) \(\frac{1}{6}\); 7) \(\frac{1}{6}\); 8) \(\frac{1}{18}\); 9) \(\frac{1}{12}\); 10) \(\frac{1}{18}\); 11) \(\frac{1}{12}\); 12) \(\frac{1}{6}\).
